Главная > Математика > Компактные группы Ли и их представления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Классификация неприводимых представлений

Вопросы классификации бесконечномерных неприводимых представлений группы G существенно зависят от аксиоматики в классе таких представлений. Действительно, даже если вместо группы G рассматривать аддитивную группу вещественных чисел, то проблема классификации ее топологически неприводимых представлений равносильна до сих пор нерешенной проблеме классификации линейных непрерывных операторов (с точностью до эквивалентности) в топологическом векторном пространстве. Положение значительно упрощается, если вместо топологически неприводимых представлений группы рассматривать ее вполне неприводимые представления (см. § 4). В этом случае ввиду выполнения теоремы Бернсайда можно утверждать ([88]), что вполне неприводимое представление группы одномерно. Следовательно, оно имеет вид экспоненты

Однако при переходе от группы к группе G возникает еще одна трудность. Действительно, как мы видели выше, операторы представления могут быть определены как в гильбертовом пространстве так и в монтелевском пространстве При этом всюду плотно в и представление в обоих пространствах вполне неприводимо. Естественно считать такие представления в некотором роде одинаковыми, т. е. использовать соответствующее определение эквивалентности. Такое определение было предложено Наймарком [117]. Мы приведем несколько видоизмененный вариант такого определения.

Пусть представление группы G в топологическом векторном пространстве и пусть инвариантное векторное подпространство в Скажем, что представление является уплотнением представления если в существует более сильная топология, по отношению к которой полно и операторы непрерывны. Скажем, что два представления группы G слабо эквивалентны, если они имеют эквивалентные уплотнения.

Теперь мы можем сформулировать один из вариантов постановки задачи о классификации неприводимых представлений группы G. Требуется классифицировать все вполне неприводимые представления этой группы с точностью до слабой эквивалентности.

Окончательное решение этой задачи было получено в недавней работе Наймарка и автора [91] (см. также [90]). Оказалось, что всякое вполне неприводимое представление группы G слабо эквивалентно одному из ее минимальных представлений

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление