формулы
в некоторой окрестности единицы группы G (где справедливо разложение Гаусса). Далее определяем функцию двух переменных а
Эта функция пока определена только на множестве вида
где
окрестность единицы в
— окрестность единицы в G. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 2, получаем, что
где
-однопараметрическая подгруппа с направляющим вектором
и параметры
не зависят от
Если
— неотрицательное целое число, то заключаем отсюда, что функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Если все числовые отметки
неотрицательны и целочисленны, то функция
содержится в конечномерном пространстве
где
определяется как совокупность всех решений индикаторной системы. Следовательно,
является полиномом и потому однозначно определяется на всей группе Z.
Далее, воспользуемся формулой 3° § 108, которая вытекает из определения функции
и справедлива при значениях
достаточно близких к единице. Эта формула позволяет определить операторы
для достаточно малых
в линейной оболочке
функций
Действительно, ввиду конечномерности
существует конечное число функций
образующих базис в
и оператор
определяется для всех элементов
таких, что все произведения
достаточно близки к единице:
Перейдем теперь к рассмотрению редуктивных групп Ли. Если
односвязная комплексная редуктивная группа Ли, то, очевидно, G разлагается в прямое произведение
где
полупростая связная подгруппа и
-связная компонента единицы в центре группы G. Поскольку С является комплексной оболочкой тора, то в С существуют некоторые мультипликативные координаты
Отсюда получаем
Следствие 4. Если
односвязная комплексная редуктивная группа Ли, то всякий ее старший вес имеет вид
где числа
являются целыми неотрицательными при
и произвольными целыми при
Переход к неодносвязной группе осуществляется, как обычно, путем факторизации по центральному нормальному делителю. Поскольку этот делитель
содержится в
то представление
оказывается однозначным на
тогда и только тогда, когда характер
обращается в единицу на
Особенно просто решается этот вопрос в случае полупростой комплексной группы (см. § 118).
Следствие 5. Если
полупростая комплексная односвязная группа Ли, то полугруппа ее неприводимых представлений имеет ровно
образующих
ранг группы
Всякое представление
однозначно записывается в виде
где
— числовые отметки сигнатуры (под умножением имеется в виду произведение Юнга). Если G редуктивна, то к образующим
добавляются еще
образующих
(в обозначениях следствия 4).
Далее, рассмотрим вещественные неприводимые представления группы G. Очевидно, всякий
вещественный характер
группы G может быть записан в виде
где
комплексные числа, для которых, однако, разности
должны быть целыми. Как и прежде, условимся считать, что параметры
относятся к полупростой компоненте (остальные — к центру группы
Следствие 6. Вещественный характер
индуктивен тогда и только тогда, когда индуктивны отдельно его аналитический и антианалитический сомножители, т. е. когда
целые числа, неотрицательные при
Представление
является тензорным произведением аналитического и антианалитического неприводимых представлений.
Подчеркнем, что в этом следствии речь идет об односвязной группе G. В общем случае следствие 6 в основном сохраняет силу, но аналитический и антианалитический сомножители могут быть неоднозначны (даже если
однозначно, см. § 43). Наконец, уточним описание канонической модели.
Теорема 5. Пусть
односвязная комплексная редуктивная группа Ли и а — ее старший вес. Тогда пространство
в котором действует неприводимое представление
состоит из всех решений индикаторной системы
Здесь
неотрицательные целые числа такие же, как в следствии 6. Пространство
состоит из полиномов на группе Z. Тот же результат имеет место, если группа G неодносвязна (но представление
может быть конечнозначным).
Доказательство ничем не отличается от частного случая
рассмотренного в § 65 (стр. 291).