полиномиальных соотношений
Иначе говоря, если
— множество всех матриц
то группа G является пересечением
с некоторым алгебраическим многообразием в
Докажем, что имеет место
Теорема 3. Всякая компактная линейная группа является алгебраической.
Доказательство. Если рассматривать группу G как группу преобразований
в линейном пространстве
то G совпадает, очевидно, с орбитой единичной точки
Следовательно, G выделяется из
системой полиномиальных соотношений
где
- произвольный инвариантный полином (т. е. такой, что
Действительно, группа G компактна, и поэтому к ней применима теорема 2: две точки
лежат на одной орбите тогда и только тогда, когда
для всех инвариантных полиномов
Теорема доказана.
Замечание. Как следует из доказательства теоремы, компактная группа G может быть непосредственно определена как алгебраическое многообразие в
без дополнительного ограничения о невырожденности матрицы
Впрочем, это ясно также из известного нам включения
Поскольку всякая компактная группа Ли изоморфна линейной, то из теоремы 3 получаем также
Следствие. Всякая компактная группа Ли алгебраична (с точностью до изоморфизма).
С другой стороны, оказывается, что в классе линейных групп предположение о том, что компактная группа является группой Ли, излишне. В Действительности имеет место
Теорема 4. Всякая алгебраическая группа является группой Ли.
Доказательство [15]. Пусть
идеал, составленный из полиномов, равных нулю на
система образующих в этом идеале. Рассмотрим матрицу
составленную из частных производных
Если
ранг этой матрицы в точке
то мы условимся считать (не ограничивая общности), что первые
строк этой матрицы содержат минор А, отличный от нуля в точке
Тогда
также в некоторой окрестности точки
Систему уравнений
можно разрешить в некоторой окрестности точки
относительно тех переменных
индексы которых содержатся в миноре
При этом получаемые функции выражаются аналитически через
и остальные
координат
Следовательно, мы получаем локальную систему координат
в некоторой окрестности точки
где
дополнительные координаты, в качестве которых можно, например, взять координаты
индексы которых не содержатся в миноре
Полагая
получаем в
некоторое алгебраическое многообразие которое, очевидно, содержит группу G. Каждая точка этого многообразия, достаточно близкая к
допускает аналитическую параметризацию
При этом, очевидно, если
то параметры матрицы
аналитически выражаются через параметры х и у.
Покажем, что и действительности оба многообразия
имеют общую окрестность точки
Иначе говоря, существует окрестность
такая, что
Отсюда будет следовать, что
группа Ли.
Заметим вначале, что при каждом
множество
также является системой образующих в идеале У. Следовательно,
где
некоторые полиномы от матрицы х. Поскольку
на группе
то мы имеем также
для каждой точки
Отсюда заключаем, что ранг
не превосходит ранга
Заменяя х на
заключаем, что ранг
постоянен на всей группе G. Следовательно, если А — построенный выше минор, то всякий минор, окаймляющий
обращается в нуль тождественно на всей группе G. Следовательно, он содержится
в идеале
Отсюда следует, что всякая производная
может быть выражена через первые
таких производных по формуле
где
полиномы от х и многоточие означает слагаемое, принадлежащее идеалу Далее, пусть
кривая в многообразии проходящая через точку
при
Поскольку вдоль этой кривой переменные
постоянны, то
и мы имеем
где многоточие означает элемент из
Следовательно,
ибо полиномы
от, являются образующими в
При этом
ибо точка
содержится в группе G. Согласно геореме единственности заключаем из полученного уравнения, что
в некоторой окрестности вида
Следовательно,
т. е.
Теорема доказана.
Покажем теперь, что свойство алгебраичности сохраняется при переходе от компактной группы G к ее (правильной) комплексной оболочке.
Теорема 5. Пусть
компактная линейная группа и
ее правильная комплексная оболочка. Тогда G является алгебраической группой Ли над полем комплексных чисел.
Доказательство. Условимся считать, что
действуют в одном и том же комплексном пространстве V (если с самого начала это было не так, то G выделяется условием вещественности всех ее матриц в