Компактные группы Ли и их представления

  

Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления.

Имея в виду читателей-физиков, автор стремился сделать изложение по возможности более элементарным. Это, в частности, привело к тому, что пришлось опустить ряд интересных и глубоких вопросов, связанных с топологией компактных групп Ли, а также с общей теорией соответствия между группами и алгебрами Ли. В то же время сравнительно подробно рассматриваются вопросы, имеющие приложение к современным задачам теоретической физики.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ЧАСТЬ I. ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ. ГРУППЫ ЛИ
§ 2. Топологические группы
§ 3. Параметрические группы и группы Ли
§ 4. Теория Ли
§ 5. Локально изоморфные группы Ли
§ 6. Инвариантные формы на группе Ли
§ 7. Метрика. Мера Хаара
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
§ 8. Полная линейная группа. Экспоненциал
§ 9. Полная линейная группа. Основные разложения
§ 10. Линейные группы, связанные с формами второго порядка
§ 11. Кватернионы
§ 12. Вопросы односвязности
§ 13. Вопросы комплексификации
§ 14. Преобразования в классе тензоров
ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 15. Функции на однородном пространстве
§ 16. Терминология теории представлений
§ 17. Редукция основной проблемы
§ 18. Элементарные гармоники
§ 19. Алгебры и группы, связанные с уравнением
§ 20. Лемма Шура
§ 21. Теорема Бернсайда
§ 22. Групповые алгебры и их представления
§ 23. Формулировка основных задач
ЧАСТЬ II. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛАВА IV. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
§ 25. Формулировка глобальной теоремы
§ 26. Прием усреднения
§ 27. Свойство ортогональности
§ 28. Аппроксимационная лемма для линейной группы G
§ 29. Ряды Фурье на линейной группе G
§ 30. Завершение доказательства для линейной группы G
§ 31. Завершение доказательства в общем случае
§ 32. Гармонический анализ на однородном многообразии
§ 33. Характеры
§ 34. Теория представлений конечных групп
§ 35. Универсальность группы U(n)
ГЛАВА V. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ МЕТОД В ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 37. Неприводимые представления группы SU(2)
§ 38. Матричные элементы группы SU(2)
§ 39. О некоторых группах, связанных с SU(2)
§ 40. О некоторых проблемах инфинитезимального метода
ГЛАВА VI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 41. Общий принцип аналитического продолжения
§ 42. Надкомпактные группы Ли. «Унитарный трюк» Г. Вейля
§ 43. Бикомплексные группы и алгебры Ли
§ 44. Комплексная оболочка U(n). Веса и корни
§ 45. Модель неприводимых представлений SU(3)
ГЛАВА VII. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ U(n)
§ 47. Единственность старшего вектора
§ 48. Различные модели d(а)
§ 49. Индуктивные веса
§ 50. Произведение Юнга
ГЛАВА VIII. ТЕНЗОРЫ И ДИАГРАММЫ ЮНГА
§ 51. Описание Z-инвариантов
§ 52. Диаграммы Юнга
§ 53. Симметризаторы Юнга
§ 54. Характеристика неприводимых тензоров в терминах симметрии
§ 55. Принцип взаимности
§ 56. Реализация d(a) на прямоугольных матрицах
§ 57. Гармонический осциллятор
ГЛАВА IX. ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА
§ 58. Универсальная обертывающая алгебра
§ 59. Операторы Казимира для группы GL(n)
§ 60. Собственные значения операторов Ck
§ 61. Разделение точек спектра и алгебраическое доказательство полной приводимости
§ 62. Полное описание центра для группы GL(n)
§ 63. Правило циклов
ГЛАВА X. ИНДИКАТОРНЫЕ СИСТЕМЫ И БАЗИС ГЕЛЬФАНДА-ЦЕЙТЛИНА
§ 64. Операторы левого сдвига на группе Z
§ 65. Индикаторные системы
§ 66. Алгебра Z-мультипликаторов и задача о сужении с группы на подгруппу
§ 67. Базис Гельфанда — Цейтлина
§ 68. Понижающие операторы в инфинитезимальной форме
§ 69. Нормировка базисных векторов
§ 70. Дифференциал d(a)
§ 71. Матричные элементы d(a)
ГЛАВА XI. ХАРАКТЕРЫ
§ 72. Инвариантная мера на группе U(n)
§ 73. Примитивные характеры U(n)
§ 74. Весовая диаграмма d(a)
§ 75. Вторая формула Вейля
§ 76. Заключительные замечания
ГЛАВА XII. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ U(n)
§ 78. Метод Z-инвариантов
§ 79. Частные случаи
§ 80. Детерминанты Вейля
ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ГЛАВА XIII. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ АЛГЕБР И ГРУПП ЛИ
§ 81. Присоединенное представление алгебры Ли
§ 82. Идеал и нормальный делитель
§ 83. Основные типы алгебр Ли
§ 84. Разрешимые алгебры Ли
§ 85. Нильпотентные алгебры Ли
§ 86. Разложения Фиттинга
§ 87. Билинейная форма Киллинга — Картана
§ 88. Основные типы групп Ли
§ 89. Теорема Леви — Мальцева
ГЛАВА XIV. КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПАКТНЫХ И РЕДУКТИВНЫХ АЛГЕБР ЛИ
§ 91. Подалгебры Картана
§ 92. Базис Картана — Вейля
§ 93. Простые корни
§ 94. Структурная матрица Картана
§ 95. Простые комплексные алгебры Ли
§ 96. Вещественные формы полупростых комплексных алгебр Ли
§ 97. Завершение классификации
ГЛАВА XV. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ В ЦЕЛОМ
§ 99. Алгебраические группы
§ 100. Разложение Гаусса
§ 101. Разложение Ивасавы
§ 102. Максимальные торы
§ 103. Фундаментальная группа и центр
§ 104. Теорема о линейности полупростой комплексной группы Ли
§ 105. Группа Вейля
§ 106. Существование комплексной оболочки
§ 107. Некоторые дополнительные результаты
ГЛАВА XVI. ОПИСАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 109. Старшие веса и сигнатуры
§ 110. Нормально вложенные подгруппы
§ 111. Полиномы на группе Z
§ 112. Завершение классификации
§ 113. Симплектическая группа
§ 114. Ортогональная группа
§ 115. Теория спиноров
§ 116. Вещественные формы
§ 117. Произвольные связные группы Ли
§ 118. Несколько замечаний
ГЛАВА XVII. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ (ХАРАКТЕРЫ, ВЕСА, ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА)
§ 119. Разложение Картана-Вейля в универсальной обертывающей алгебре
§ 120. Представления со старшим вектором
§ 121. Классификация конечномерных неприводимых представлений алгебры X
§ 122. Формула Фрейденталя
§ 123. Формула Вейля для характеров
§ 124. Следствия из формулы Вейля
§ 125. Полиномы на картановской подалгебре, инвариантные относительно группы Вейля
§ 126. Операторы Казимира
§ 127. О вычислении собственных значений операторов Казимира
ГЛАВА XVIII. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 128. Общая схема сужения с группы на подгруппу
§ 129. Сужение SO(n)/SO(n-1)
§ 130. Сужение Sp(n)/Sp(n-2)
§ 131. Тензорное произведение двух неприводимых представлений
§ 132. Сужения ...
§ 133. Сужение SU(n)/SO(n)
§ 134. Сферические функции в n-мерном евклидовом пространстве
§ 135. О представлениях группы движений n-мерного евклидова пространства
ДОБАВЛЕНИЕ I. О БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ПОЛУПРОСТОЙ КОМПЛЕКСНОЙ ГРУППЫ ЛИ
§ 2. Пространство элементарного представления
§ 3. Дифференциал элементарного представления
§ 4. Вопросы неприводимости
§ 5. Аналог формулы Планшереля
§ 6. Теоремы типа Пэли — Винера
§ 7. Минимальные представления
§ 8. Классификация неприводимых представлений
§ 9. О полуприводимых представлениях
ДОБАВЛЕНИЕ II. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УНИТАРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ГРУПП
§ 2. Теорема Стоуна — фон Неймана
§ 3. Индуцированные представления
§ 4. Полупрямые произведения
§ 5. Нильпотентные группы Ли
§ 6. Разложение унитарных представлений на неприводимые
ДОБАВЛЕНИЕ III. УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ В КЛАССЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
§ 2. Элементарные частицы. Изотопический спин
§ 3. Унитарная симметрия в классе адронов
§ 4. Открытие «омега»-частицы
§ 5. Некоторые проблемы
ЛИТЕРАТУРА