Главная > Физика > Линейные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Точечные источники для полуплоскости и полупространства

1. Волновое уравнение, плоский случай. Решение задачи

легко находится методом отражений, причем для а

получается формула

в тех точках, где или — соответствующий интеграл следует заменить нулем. Если краевое условие заменить на краевое условие

то в формуле (9.84) знак минус следует заменить на плюс.

2. Волновое уравнение, трехмерный случай. Решение задачи

дается формулой

причем в формуле (9.87) следует считать, что при отрицательных значениях аргумента Если краевое условие заменить на

то в формуле (9.87) знак минус следует заменить на плюс.

3. Уравнения Максвелла [95]. Пусть вертикальный сосредоточенный диполь помещен в точке Его момент пусть равен нулю при а при равен

где орт оси Область пусть занята идеальным проводником, т.е. а область — воздухом Тогда поле, возбужденное диполем, легко найти по методу отражений. Если взять за поляризационный потенциал

и вычислить и по формулам (9.11), (9.12), то найденное таким образом поле и будет полем, возбужденным вертикальным осциллятором над идеально проводящей плоской землей.

4. Теория упругости, плоская задача Лэмба [69], [80], [95]. Плоская задача Лэмба — это задача о нахождении вектора смещений соответствующего вертикальному или горизонтальному сосредоточенному импульсу, действующему на границе полуплоскости Задача эта ставится так: нужно найти вектор смещения удовлетворяющий уравнениям теории упругости

и краевым и начальным условиям:

(нормальное воздействие). В случае касательного воздействия импульса граничные условия будут другими, а именно:

Решение этих задач проще всего записать с помощью потенциалов:

В случае нормального воздействия имеем:

Радикал в правой полуплоскости фиксируется условиями:

В случае касательного воздействия формулы заменяются на формулы

где

5. Трехмерные осесимметричные задачи теории упругости [60], [61], [63], [69], [95]. Задача ставится аналогично задаче (9.90), (9.91), только полуплоскость заменяется на полупространство и краевые условия на

Для решения удобно ввести цилиндрическую систему координат тогда

орты цилиндрической системы координат),

где

функции Бесселя. Радикалы фиксируются так же, как в плоском случае.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление