Главная > Физика > Линейные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Свойства решений параболических систем

Отметим некоторые общие свойства решений параболических систем.

1) Регулярное решение параболической системы, коэффициенты и правая часть которого суть аналитические функции переменных само аналитично относительно этих переменных. Относительно переменной такое предложение, вообще говоря, неверно.

2) Регулярное решение параболической системы с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и правой частью бесконечно дифференцируемо.

3) Заданная в полупространстве пространства параболическая система называется лиувиллевой, если любое ограниченное регулярное решение соответствующей однородной системы есть постоянный вектор.

Например, параболическая система вида

с постоянными коэффициентами является лиувиллевой.

4) Вектор-функция суммируемая в области называется обобщенным решением в этой области параболической системы (6.40), если для любой регулярной вектор-функции равной нулю вне некоторой подобласти области справедливо равенство

Здесь означает скалярное произведение векторов

Всякое регулярное решение параболической системы с непрерывной правой частью и непрерывными коэффициентами является также ее обобщенным решением. Если коэффициенты системы (6.40) и ей сопряженной системы (6.42) удовлетворяют условиям 1) и 2) § 1, а вектор-функция

удовлетворяет по х условию Гёльдера, то справедливо и обратное предложение: всякое обобщенное решение параболической системы является ее регулярным решением.

5) Для решений однородного Лараболического уравнения вида (6.51) с справедлив принцип максимума (минимума): регулярное и отличное от постоянной в цилиндре решение этого уравнения не может принимать свое наибольшее (наименьшее) значение внутри цилиндра или на его верхнем основании.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление