Главная > Физика > Линейные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Теория потенциала для одного параболического уравнения второго порядка

Для параболического уравнения второго порядка можно построить теорию потенциала, во многом аналогичную теорий потенциала для уравнения Лапласа (см. гл, III, § 8).

Рассмотрим в слое однородное параболическое уравнение

Будем считать, что коэффициенты этого уравнения ограничены и удовлетворяют условию Гёльдера по х, а старшие коэффициенты, кроме того, удовлетворяют условию Гёльдера также по и непрерывно дифференцируемы по

Пусть конечная или бесконечная (не обязательно выпуклая) область пространства ограниченная поверхностью типа Ляпунова 5.

Положим для

Исходным пунктом в теории потенциала для параболических уравнений является следующая формула:

где

Формула (6,52) вполне аналогична известной формуле Гаусса из теории потенциала для уравнения Лапласа. Далее, имеем при

причем для функций справедливы оценки

Пусть функция определена и непрерывна на Положим

Функции называются соответственно параболическими потенциалами простого и двойного слоя с плотностью

Из формулы (6.52) вытекает, что для любой точки

причем верхний знак относится к случаю, когда изнутри а нижний знак — к случаю, когда со стороны внешности

Формулы (6.55) позволяют сводить к интегральным уравнениям типа (6.50) решение смешанных задач для уравнения (6.51) с нулевым начальным условием и краевыми условиями вида

или

При этом в случае краевого условия (6.56) решение нужно разыскивать в форме потенциала простого слоя, а в случае краевого условия (6.57) — в форме потенциала двойного слоя. Получающиеся при этом интегральные уравнения, в силу соотношений (6.53) и (6.54), имеют слабо полярные ядра. Поэтому процесс последовательных приближений для них сходится.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление