Главная > Физика > Линейные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Фундаментальная матрица параболической системы

Предположим, что система (6.40) параболична в слое пространства

Матрица называется фундаментальной для системы (6.40), если при она является регулярным решением однородной системы

(т. е. решением, имеющим непрерывные производные, входящие в систему) и если для любой вектор-функции

непрерывной в некоторой области пространства точек х, справедливо соотношение

Существование фундаментальной матрицы обеспечено, если выполнены следующие условия:

1) коэффициенты системы ограничены и удовлетворяют условию Гельдера по

2) старшие коэффициенты системы равномерно непрерывны по переменной (если дифференциальный оператор

сильно эллиптичен, то это условие излишне).

Построение фундаментальной матрицы производится следующим образом. Обозначим через матричное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальному условию

Положим

Можно подобрать матрицу так, чтобы матрица

была фундаментальной для системы (6.40). При этом будут

справедливы следующие оценки:

где положительные постоянные, знак производной порядка I по произвольной комбинации независимых переменных евклидово расстояние между точками х и у.

Рассмотрим в слое систему

где и матрицы, сопряженные с матрицами соответственно. Система (6.45) называется сопряженной с системой (6.43).

Фундаментальная матрица параболической системы (6.40) (или системы называется нормальной, если матрица является фундаментальной для системы (6.45).

Предположим теперь (и в дальнейшем), что коэффициенты систем (6.43) и (6.45) удовлетворяют условиям 1) и 2). Тогда справедливы следующие предположения:

1. Матрица , построенная выше, является нормальной.

2. Существует одна и только одна нормальная фундаментальная матрица параболической системы, для которой справедливы оценки (6.44).

3. При имеет место равенство

4. При существуют и непрерывны смешанные производные вида

причем для

5. Равенство

справедливо тогда и только тогда, когда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление