Главная > Физика > Линейные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Координаты, в которых переменные разделяются

1. Вводные замечания. Достаточным условием для разделения переменных в трехмерном уравнении Гельмгольца является условие представимости произведения коэффициентов Ламе в следующей форме:

где величины, зависящие только от

Определитель, входящий в равенство (4.20), называют иногда определителем Штеккеля. В дальнейшем он обозначается через При выполнении условия (4.20) можно положить

и получить для функций следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:

Здесь константы разделения, определяемые из граничных условий, причем Помимо декартовых, круговых, цилиндрических и сферических координат, в которых процесс разделения переменных уже описан, условию (4.20) удовлетворяют координатные системы, сведения о которых приведены в гл. III.

Ниже даются выражения для и приводятся разделенные уравнения.

2. Эллиптические цилиндрические координаты:

3. Параболические цилиндрические координаты:

4. Конические координаты:

Второе и третье уравнения иногда преобразуются к новым независимым переменным подстановками

одна из эллиптических функций [10]. При этой подстановке

5. Параболические координаты вращения:

Так как то третье уравнение часто преобразуют к независимому переменному

6. Вытянутые сфероидальные координаты:

Разделенные уравнения:

Напоминаем, что Уравнения иногда преобразуются к переменным

7. Сплющенные сфероидальные координаты:

Уравнения иногда преобразуются к переменным

8. Эллипсоидальные координаты:

Разделенные уравнения иногда преобразуют к новым независимым переменным подстановками

эллиптические функции.

9. Параболоидальные координаты:

Разделенные уравнения иногда преобразуют к независимым переменным

В некоторых, впрочем весьма редких, случаях удается достаточно просто найти точное решение задачи для области, границы которой не являются координатными линиями или поверхностями, принадлежащими системе координат, в которой переменные разделяются. В качестве примера приводим решение следующей задачи.

10. Первая краевая задача для равнобедренного прямоугольного треугольника. (Уравнения сторон: )

Собственные значения:

Собственные функции:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление