Главная > Физика > Линейные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Сведения о более общих уравнениях эллиптического типа

1. Уравнение Гельмгольца. Уравнение

часто называется уравнением Гельмгольца. Встречается при решении волнового уравнения, а также уравнения теплопроводности в результате расщепления решения на множитель, зависящий от координат, и множитель, зависящий от времени.

Уравнению Гельмгольца посвящена гл. IV настоящего справочника.

2. Уравнение

Свойства уравнения определяются знаком функции Если то свойства уравнения (3.42) во многих отношениях аналогичны свойствам уравнения Пуассона. Так:

а) если дифференцируемые функции, то существует единственное решение задачи Дирихле в области, граница которой удовлетворяет обычным условиям;

б) в случае для решений справедливы теоремы Гарнака;

в) в случае для решений справедлив принцип максимума;

г) если коэффициенты и - аналитические функции, то и решения будут аналитическими функциями.

1) Рассмотрим частный случай:

где помимо свойств а), б) и г), справедлив принцип максимума в следующей ослабленной форме:

Решения уравнения (3.43), определенные и непрерывные в замкнутой области, не могут во внутренних точках области иметь положительных наибольших и отрицательных наименьших значений.

2) Пусть имеем

где действительное постоянное число (будем считать

Фундаментальные решения в трехмерном случае. Функции удовлетворяют уравнению (3.44) всюду, кроме начала координат; их называют фундаментальными решениями-, первую из них, обращающуюся в нуль на бесконечности, называют также функцией источника.

Если под подразумевать расстояние от точки до некоторой постоянной точки то и на будут удовлетворять уравнению (3.44) всюду, кроме точки

Интегральное представление решения уравнения (3.44):

Для неоднородного уравнения

Фундаментальные решения в двумерном случае. Функции удовлетворяют двумерному уравнению (3.44) всюду, кроме точки Но — функция Ханкеля нулевого порядка первого рода, — функция Ханкеля нулевого порядка второго рода. Первая из этих функций, обращающаяся в бесконечность при и стремящаяся к нулю при называется функцией

источника на плоскости. Иногда пользуются обозначениями

Формула (3.45) в плоском случае заменяется следующей:

формула (3.46) в плоском случае имеет вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление