Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Несмещенные критерии для параметров сдвига и масштаба

24.20 Пример 24.5 подсказывает, что при построении критерия ОП полезно подправить используемые МП-оценки с тем, чтобы они были несмещенными. Подтверждением сказанному служит пример 24.4, где было установлено, что подправленная

статистика порождает несмещенный критерий. Сейчас мы докажем это утверждение, используя метод, принадлежащий Питмэну (1939b).

Если проверяемая гипотеза касается параметров сдвига то совместное распределение случайных величин запишется в виде

Мы хотим проверить гипотезу

Любая интуитивно подходящая для построения критерия статистика должна удовлетворять условию инвариантности

Следовательно, без потери общности можно положить общее значение в (24.60) равным нулю. Предположим, что и что критическая область размера а, основанная на распределении статистики определяется неравенством

Если бы какие-нибудь из этих предположений не выполнялись, то мы могли бы перейти к некоторой функции от для которой они имели бы место.

Вследствие свойства инвариантности (24.61) статистика должна быть постоянной (в -мерном пространстве на любой прямой параллельной вектору V, определяемому уравнениями Таким образом, область будет лежать вне гиперцилиндра с осью, параллельной При гипотезе Но вероятность области равна размеру критерия

Если же Н неверна, то вероятность области равна мощности критерия

где область получена из параллельным переносом в пространстве Определим интеграл по любой прямой параллельной V,

Поскольку х пробегает произвольную прямую а совокуп»; ность всех прямых совпадает с пространством то

Определим теперь область как объединение всех прямых для которых статистика превосходит некоторой постоянной Тогда будет больше на любой прямой принадлежащей и не принадлежащей Следовательно, из (24.63), (24.64) и (24.66) вытекает

поэтому данный критерий является несмещенным. Нам осталось определить статистику критерия так, чтобы в любой точке прямой параллельной V, она равнялась Используя свойство инвариантности (24.61) с имеем при условии

Освобождаясь от условия, в качестве статистики критерия находим

откуда, заменяя х на , т. е. интегрируя по получаем

Критическая область размера а для этого несмещенного критерия определяется соотношением (24.62). Нетрудно видеть, что так полученный несмещенный критерий является единственным. Пример применения (24.67) дается в упражнении 24.15.

24.21 Обращаясь теперь к критериям, касающимся масштабных параметров, предположим, что совместное распределение случайных величин имеет вид

где все масштабные параметры положительны. Сделаем преобразование

и найдем распределение

Распределение (24.69) имеет вид (24.59), рассмотренный выше. Проверка гипотезы

равносильна проверке из (24.60). Статистика (24.67) превращается здесь в

которая в терминах переписывается как

24.22 Рассмотрим теперь специальный случай независимых случайных величин имеющих гамма-распределения с параметрами Их совместное распределение есть

Для проверки гипотезы из (24.70) воспользуемся статистикой (24.71). Получаем

где Подставляя в (24.73) и находим

Отбросим постоянный множитель в квадратных скобках соотношения (24.74). Оставшаяся часть достигает своего максимального значения когда при этом

Обозначим теперь

Статистика дает несмещенный критерий для гипотезы Она изменяется от до и ее большие значения являются критическими.

Пример 24.6

Мы можем теперь применить (24.76) к задаче проверки гипотезы о равенстве дисперсий в нормальных совокупностях, рассмотренной в примере 24.4. Действительно, при гипотезе каждая из величин имеет гамма-распределение с параметром Подставляя, следовательно, в (24.76)

находим в качестве статистики несмещенного критерия

Соотношение (24.78) идентично (24.44), так что есть попросту статистика которую мы там рассматривали. Таким

образом, как утверждалось в примере 24.4, критерий, основанный на является несмещенным. Отсюда видно, что неподправленная статистика ОП из (24.40), в которой использовались другие веса, не может быть в общем случае несмещенной. Когда все выборки имеют одинаковые объемы, то, как показывает упражнение 24.7, эти два критерия эквивалентны. Даже в случае при неподправленный критерий ОП смещен (доказательство этого утверждения предоставлено читателю в упражнении 24.14).

24.23 Прежде чем закончить рассмотрение несмещенности критериев ОП, нужио упомянуть, что Полсон (1941) исследовал смещение некоторых критериев ОП для экспоненциальных распределений (некоторые из его результатов приведены в упражнениях 24.16 и 24.18). Кроме того, Дейли (1940) и Нарайн (1950) доказали несмещенность ряда критериев ОП для проверки независимости в многомерных нормальных совокупностях (к их результатам мы обратимся, когда встретимся с этими критериями в томе 3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление