Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Состоятельность и несмещенность критериев ОП

24.18 В 18.10 и 18.22 мы видели, что при некоторых очень слабых ограничениях МП-оценка в вектора состоятельна, хотя в общем случае она может не быть таковой Если мы имеем дело с ситуацией, в которой все МП-оценки состоятельны, то из определения статистики ОП (24.4) видно, что с ростом объема выборки

где истинные значения этих параметров, а задаваемое гипотезой значение параметра Таким образом, когда выполняется по вероятности и, следовательно, граница критической области (24.6) будет приближаться к 1. При невыполнении предельным значением I в (24.56) будет некоторая константа удовлетворяющая (см. (18.20)) неравенству и тогда имеем

т. е. критерий ОП состоятелен.

В 24.8, исходя из приближенного вида функции мощности, мы получили, что при условиях регулярности критерии ОП состоятельны. В 24.15 была выведена состоятельность для другого случая, не содержащегося в 24.8. Оба этих примера представляют собой частные случаи полученного сейчас результата.

24.19 Обращаясь к вопросу о несмещенности, вспомним предпоследнее предложение из 24.17, которое в совокупности с результатом из 24.18 обеспечивает асимптотическую несмещен-, ность большинства критериев ОП. Само по себе это не очень утешительно (хотя это было бы так, если бы при разумных ограничениях можно было показать, что максимальное смещение всегда мало), потому что интуитивно кажется разумным требовать, чтобы условие несмещенности критерия выполнялось для выборок всех объемов. Пример 24.5 показывает, что один важный критерий ОП является смещенным.

Пример 24.5

Рассмотрим снова гипотезу Но из примера 24.3. Критической областью критерия ОП служат «хвосты» -распределения величины определяемые уравнениями (24.33).

В примерах 23.12 и 23.14 мы видели, что несмещенный (в действительности РНМН) критерий для определяется из соотношений

Из сравнения (24.58) и (24.33) вытекает, что они дают одинаковый результат только при условии которое выполняется лишь в тривиальном случае Во всех других случаях эти критерии имеют разные критические области, причем у критерия ОП значения больше, чем у несмещенного критерия, т. е. у него большая доля величины а сконцентрирована на нижнем «хвосте». Рассмотрим альтернативные значения большие, чем для которых распределение статистики немного смещается в сторону больших значений по сравнению с распределением при гипотезе Нетрудно проверить, что при таких уменьшение вероятности, соответствующей критической области критерия ОП, вызванное увеличением будет превосходить ее прирост вследствие большего значения Таким образом, критерий ОП является смещенным.

На примере 23.12 можно увидеть, что рассмотренный там критерий с равными «хвостами» имеет значения слишком малые для несмещенности, тогда как значения соответствующие критерию ОП, для этого слишком велики. Таким образом, две более или менее интуитивно приемлемые критические области как бы «ограничивают» с двух сторон критическую область несмещенного критерия.

Если в (24.33) заменить на то получим в точности соотношения (24.58) , соответствующие несмещенному критерию, что подтверждает общее утверждение о том, что критерий ОП асимптотически теряет свое смещение. Это наводит на мысль найти причину смещения. Если при построении статистики ОП в примере 24.3 мы подправим безусловную МП-оценку параметра так, чтобы она была несмещенной, то заменится на и подправленный критерий ОП будет несмещенным. Итак, смещенность МП-оценки лежит в основе смещенности критерия ОП.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление