Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Критерии ОП в случае, когда область зависит от параметра

24.10 Асимптотическое распределение статистики ОП, данное в 24.7, существенно опирается на условия регулярности, необходимые для того, чтобы установить асимптотическую нормальность МП-оценок. Эти условия нарушаются (как мы видели в примере 18.5), если область определения исходного распределения зависит от параметра 9. Что же в таком случае можно сказать о распределении ОП-статистики? Замечательный факт, доказанный Хоггом (1956), состоит в том, что для определенных гипотез, касающихся указанных распределений, статистика имеет в точности -распределение, но с степенями свободы, т. е. число степеней свободы вдвое больше количества ограничений, налагаемых гипотезой.

24.11 Выведем сначала некоторые предварительные результаты, касающиеся прямоугольных распределений. Пусть независимых величин распределены по закону

Величина

имеет, как легко видеть, распределение

являющееся -распределением с двумя степенями свободы. Поэтому сумма таких величин

подчиняется -распределению с степенями свободы.

Из (14.1) следует, что наибольшее наблюдение среди независимых наблюдений из прямоугольного распределения на имеет распределение

и, следовательно, величина распределена равномерно по закону (24.46). Таким образом, в случае независимых выборок объемов статистика имеет -распределение с степенями свободы.

Рассмотрим теперь распределение наибольшего среди наибольших значений Поскольку все наблюдения независимы,

то это попросту есть наибольшее среди наблюдений, взятых из исходного прямоугольного распределения. Если обозначим указанное наибольшее значение через то величина согласно сказанному выше, будет иметь -распределение с двумя степенями свободы. Докажем теперь независимость статистик Пусть исходное прямоугольное распределение сосредоточено на интервале (0,6). Тогда согласно (24.47) совместная плотность величину равна

Как показано в 17.40, — достаточная статистика для , а в силу 23.12 ее распределение полно. Таким образом, согласно упражнению 23.7, для того чтобы установить независимость величины и от полной достаточной статистики нам нужно толь: ко заметить, что распределение и не зависит от параметра Величины и, а следовательно, и независимы.

Обозначим величины Из предыдущего имеем

Используя предыдущие результаты о -распределениях и тот факт, что х. ф. суммы независимых величин равна произведению их х. ф. (см. 7.18) получаем

откуда

Следовательно, статистика и имеет -распределение с степенями свободы.

Итак, мы установили, что если имеется независимых величин распределенных по закону (24.47), то величина — имеет -распределение с степенями свободы. Далее, если наибольшее среди то статистика — подчиняется -распределению с степенями свободы.

24.12 Рассмотрим теперь два типа ситуаций, в которых существует одномерная достаточная статистика для 0, когда область определения зависит от параметра Возьмем случай, где только один конец (например, верхний) зависит от 0. Согласно результатам 17.40 плотность имеет вид

Предположим теперь, что имеется 1) генеральных совокупностей с плотностями и мы хотим, основываясь на выборках объемов проверить простую гипотезу

налагающую ограничений. Построим критерий ОП для Наибольшее наблюдение (см. упражнение 18.1) является безусловной МП-оценкой параметра Таким образом,

Поскольку Но — простая гипотеза, то, когда она выполняется, значение ФП определено однозначно и не нужно искать условную МП-оценку. Имеем

Следовательно, статистика ОП равна

Если выполнена, то величина представляет собой вероятность того, что наблюдение меньше или равно Она сама является случайной величиной, распределение которой находится по распределению

и имеет вид (24.47). Таким образом, согласно результату предьь дущего пункта статистика

подчиняется -распределению с степенями свободы.

24.13 Рассмотрим теперь для генеральных совокупностей сложную гипотезу

которая налагает ограничений, поскольку общее значение параметра 6 не фиксировано. Как и прежде, безусловный максимум ФП дается соотношением (24.49). Максимум при гипотезе Но равен где — МП-оценка для 9 по объединенной выборке, равная Таким образом, находим статистику ОП

Перепишем ее в виде

где общее неизвестное значение параметра Отсюда видно, что в обозначениях предыдущего пункта

и согласно 24.11 статистика в данном случае подчиняется -распределению с степенями свободы.

24.14 Если оба конца интервала зависят от параметра 9 и для существует одномерная достаточная статистика, то согласно 17.41

где должна быть монотонно убывающей функцией от 9. Пусть имеется таких совокупностей, и на основе выборок объемов снова проверяется простая гипотеза

Безусловной МП-оценкой параметра является достаточная статистика

где и — соответственно наименьшее и наибольшее наблюдения в выборке. При гипотезе равна Отсюда получаем статистику ОП

Точно так же, как в случае соотношения (24.50), убеждаемся, что

где подчиняются распределению (24.47), и, следовательно, величина снова имеет -распределение с степенями свободы.

Аналогичным образом, в случае сложной гипотезы с ограничениями

так же, как в 24.13, находим, что статистика ОП равна

где - оценка по объединенной выборке. Записывая

мы вновь приводим I к требуемому в 24.11 виду. Отсюда вытекает, что статистика имеет -распределение с степенями свободы.

24.15 Таким образом, мы получили точные -распределения для двух классов проверяемых гипотез, касающихся распределений, у которых концы интервалов зависят от параметра. Упражнения 24.8 и 24.9 содержат дальнейшие примеры критериев ОП, одного точного и одного асимптотического, в которых статистика имеет -распределение с удвоенным, по сравнению с количеством ограничений в проверяемой гипотезе, числом степеней свободы. Заметим, что указанные -распределения возникают не из-за сходимости МП-оценок к многомерной нормальности, как это было с асимптотическими результатами для «регулярных» ситуаций в 24.7, а вследствие выявленной в 24.11 тесной связи между прямоугольным и -распределениями. Одно из следствий этого различия состоит в том, что функции мощности рассматриваемых критериев совершенно отличаются от полученных в 24.8 с помощью нецентрального -распределения.

Для простой гипотезы Барр (1966) нашел функцию мощности критерия, основанного на статистике ОП (24.50), и доказал его несмещенность. Он показал, что при этот критерий является РНМ (см. пример 22.6 и условие если же

то РНМ критерия не существует, а критерий ОП не является даже РНМН. В случае сложной гипотезы, приведенной в 24.13, при с помощью функции мощности критерия ОП со статистикой (24.51) доказывается, что этот критерий ОП является РНМН.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление