Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Более точные аппроксимации для распределения статистики ОП

24.9 Ограничиваясь теперь распределением статистики I при гипотезе Но, можно искать более точные приближения, чем асимптотический результат из 24.7. В 24.3 было указано, что если мы хотим найти -приближение для распределения функции от I, то полезно рассмотреть величину и подобрать константу с так, чтобы улучшить аппроксимацию.

Для этого проще всего было бы найти математическое ожидание и подобрать такое с, при котором оно равно математическому ожиданию величины степенями свободы, т. е. Аппроксимация такого сорта впервые была получена Бартлеттом (1937). Общий способ определения константы с предложил Лоли (1956), который для исследования моментов величины существенно использует методы из 20.15. Если

то, как показал Лоли, полагая

мы не только получаем, что

как это сразу следует из (24.36) и (24.37), но и что все семиинварианты статистики совпадают, с точностью до с семиинвариантами величины имеющей степеней свободы. Простая масштабная поправка, которая согласует среднее с правильным значением, является, таким образом, несомненным улучшением.

Если требуются более точные приближения, то их можно получить с помощью метода, принадлежащего Боксу (1949). Бокс приводит улучшенные -аппроксимации (см. 42.11, т. 3) и показывает, как найти функцию имеющую распределение дисперсионного отношения, а также выводит асимптотическое разложение для ее распределения в терминах неполных гамма-функций.

Пример 24.4

Пусть имеется независимых выборок объемов извлеченных из нормальных совокупностей со средними и дисперсиями Нужно проверить гипотезу

это сложная гипотеза, налагающая ограничений

и имеющая степеней свободы. Обозначим общее неизвестное значение дисперсии.

Безусловный максимум ФП получается, как и в примере 24.1, если положить

Он равен

где

При гипотезе МП-оценки средних и общей дисперсии имеют вид

откуда

Из (24.4), (24.38) и (24.39) имеем

так что

Когда выполняется гипотеза каждая из статистик имеет гамма-распределение с параметром их сумма — такое же распределение уже с параметром . Для величины имеющей гамма-распределение с параметром имеем

откуда, используя ряд Стерлинга (3.63), получаем

Пользуясь (24.42), получаем из (24.41)

где обозначает любую из величин или Мы можем теперь улучшить -приближение, полагая, в соответствии с (24.36), выражение в квадратных скобках (24.43) равным

Рассмотрим теперь модификацию Бартлетта (1937) для статистики ОП (24.40), в которой повсюду заменяется на «число степеней свободы» так что заменяется на

Мы обозначим ее

где теперь

Таким образом,

В примере 24.6 мы увидим, что статистика I обладает тем преимуществом перед что соответствующий ей критерий несмещен при любых значениях Если мы повторим переход от (24.42) к (24.43), то найдем, что

Из (24.37) и (24.45) следует, что величину определенную в (24.44), нужно разделить на

чтобы получить более точное приближение к -распределению с степенями свободы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление