Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Асимптотическая мощность критериев ОП

24.8 Результат пункта 24.7 делает возможным вычисление асимптотической функции мощности критерия ОП в тех случаях, когда выполнены условия, при которых он справедлив. Для этого мы должны сначала найти матрицу а затем интеграл

где есть -процентная точка центрального -распределения. Величина представляет собой мощность критерия, а при его размер.

Патнайк (1949) приводит таблицу значений для числа степеней свободы При 1 степени свободы можно оценить используя нормальную ф. р., как показано ниже, в примере 24.3. Фикс (1949b) приводит таблицы обратной зависимости, в которых даны значения для числа степеней свободы и (у нее

Если прибегнуть к аппроксимации нецентрального распределения, приведенной в 24.5, то, согласно (24.21) с

соотношение (24.29) перепишется в виде

где — центральное -распределение с степенями свободы, а его -процентная точка. Подстановка в (24.30) дает размер критерия.

Число степеней свободы в (24.30) обычно дробное, и поэтому необходима интерполяция при использовании таблиц -распре-деления.

Параметр нецентральности X, определенный в (24.28), представляет собой (в предположении условий регулярности) квадратичную форму, коэффициентами которой служат элементы матрицы Из этого вытекает, что (поскольку дисперсии и ковариации имеют порядок будет содержать множитель следовательно, мощность (24.29) будет стремиться к 1, когда возрастает.

Пример 24.3

Проверить гипотезу для нормального распределения из примера 24.1. Безусловные МП-оценки остаются теми же, так что (24.8) по-прежнему является безусловным максимумом ФП. Пусть, справедлива гипотеза тогда есть МП-оценка параметра (пример 18.2). Таким образом,

Отношение (24.31) к (24.8) дает

I

поэтому

где Величина z является монотонной функцией от I, но она не монотонна относительно Ее производная равна

Следовательно, z возрастает при до максимума в точке и затем убывает. Неравенство эквивалентно тому,

что где согласно (24.32), определяются из соотношений

Поскольку при гипотезе статистика имеет -распределение с степенями свободы, то с помощью таблиц этого распределения можно решить систему уравнений (24.33).

Рассмотрим теперь приближенное распределение величины

Так как то

Мы видели в 16.6, что величина с степенями свободы при асимптотически нормальна со средним и дисперсией или, что эквивалентно, величина стремится к стандартной нормальной величине. Следовательно, первое слагаемое в (24.34), представляющее собой ее квадрат, имеет -распределение с одной степенью свободы. Именно это распределение величины — дает общий результат из 24.7 в случае, когда выполняется Этот результат говорит также, что, когда гипотеза неверна, подчиняется нецентральному -распределению с одной степенью свободы и параметром нецентральности, равным согласно (24.28)

Таким образом, в данном случае, когда выражение (24.30) для приближенной мощности критерия ОП имеет вид

Для иллюстрации оценим для одного значения А, и удобным

образом выбранного Задавая получаем критерий уровня 0,05. Пусть альтернативная гипотеза. Тогда имеем полагая находим Из соотношения (24.35) вытекает, что

Используя Biometrika Tables, с помощью простой интерполяции между 1 и 2 степенями свободы определяем, что приближенно Точное значение мощности может быть получено из нормальной ф. р. Это есть мощность критерия размера а с равными «хвостами» против альтернативной гипотезы, состоящей в смещении среднего на среднеквадратичное отклонение от среднего при Но, т. е. доля альтернативного распределения, лежащая вне интервала среднеквадратичных отклонений от его среднего. Таблицы нормального распределения дают значение ; Аппроксимация для функции мощности получилась, таким образом, вполне хорошей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление