Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Асимптотическое распределение статистики ОП

24.7 В 18.6 было показано, что при условиях регулярности МП-оценка (которую временно обозначим одномерного параметра асимптотически достигает МГД. Согласно 17.7 ФП

имеет асимптотическое представление

или

Отсюда видно, что ФП сводится к нормальному распределению «асимптотически достаточной» статистики

В случае -мерного вектора параметров в матричный аналог (24.22) имеет вид

где матрица с элементами (см. 18.26)

Интегрируя (24.24), получаем аналог соотношения (24.23):

В 18.26 мы видели, что при условиях регулярности вектор МП-оценок асимптотически имеет многомерное нормальное распределение с матрицей рассеяния Таким образом, ФП сводится к многомерному нормальному распределению вектора Этот результат был строго доказан Вальдом (1943а).

Теперь можно легко установить асимптотическое распределение статистики определенной в (24.4). В силу (24.25) задача сводится к рассмотрению отношения максимума правой части (24.25) при гипотезе к ее максимуму при Когда выполняется максимум (24.25) достигается в точке Тогда каждая компонента вектора равна нулю, и мы получаем

Если же имеет место гипотеза то компонент вектора соответствующих будут по-прежнему нулями, потому что максимум (24.25) достигается при При этом (24.25) имеет вид

где индекс указывает на то, что мы имеем дело с -мерным распределением. Таким образом, из (24.26) и (24.27)

Отсюда

Мы знаем, что подчиняется многомерному нормальному распределению с матрицей рассеяния и вектором средних Итак, согласно результату из 24.6 статистика в случае проверки гипотезы, налагающей ограничений, имеет асимптотически нецентральное -распределение с степенями свободы и параметром нецентральности

Приведенный результат принадлежит Вальду (1943а). Когда выполняется гипотеза то и указанное распределение сводится к центральному -распределению с степенями свободы. Последний факт впервые был доказан Уилксом (1938а). Простое и строгое доказательство результата, относящегося к гипотезе дал К. Рой (1957). Следует подчеркнуть, что указанные результаты имеют место только тогда, когда выполнены условия, гарантирующие асимптотическую нормальность и эффективность МП-оценок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление