Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Нецентральное «хи-квадрат»-распределение

24.4 В 16.2-3 мы видели, что сумма квадратов независимых нормированных нормальных величин имеет распределение степенями свободы (16.1), а ее х. ф. дается формулой (16.3). Рассмотрим теперь распределение статистики

где по-прежнему независимые нормальные величины с единичной дисперсией, но их средние значения отличны от нуля и

Запишем совместное распределение для , в виде

С помощью ортогонального преобразования перейдем к новой системе независимых нормальных величин с единичными дисперсиями;

Поскольку

то

вследствие равенства Сделаем теперь первые компонент вектора равными нулю. Тогда из (24.13)

Таким образом, величина

есть сумма квадратов независимых нормальных величин, первые из которых нормированы, а последняя имеет среднее и дисперсию 1. Обозначим

где распределена как степенями свободы. Величина имеет распределение

откуда получаем распределение для

или

Величины имеют совместное распределение

где есть -распределение с степенями свободы,

Подставим (24.14) и (24.16) в (24.15) и сделаем преобразование

с якобианом, равным Для совместного распределения находим

Интегрируя теперь по от до 1, получаем маргинальное распределение величины

Для того чтобы определить константу в (24.17), напомним, что она не зависит от X, и положим Распределение (24.17) должно тогда перейти в обычное -распределение с степенями свободы, даваемое равенством (16.1). Непостоянные множители при этом совпадают, но константа в (24.17) равна тогда как в (16.1) она равна Мы должны, следовательно, разделить (24.17) на заменяя на для любого X окончательно имеем

24.5 Распределение (24.18) называется нецентральным -распределением с степенями свободы и параметром нецентральности X и обозначается иногда Оно впервые введено Фишером (1928а) и изучалось Уишартом (1932), Патнайком (1949) и Тайкью (1965а). Поскольку его первые два семиинварианта равны (см. упражнение 24.1)

то оно следующим образом может быть приближено (центральным) -распределением. Полагая (в 24.19), находим первые два семиинварианта степенями свободы:

Если мы приравняем между собой первые два семиинварианта величин где константу предстоит определить, то из (24.19) и (24.20) получим

так что имеет приближенно центральное -распределение при

Заметим, что принимает в общем случае дробные значения.

Патнайк (1949) показал, что это приближение для удовлетворительно для многих целей, но он дал и лучшие приближения, полученные из разложений в ряды Эджворта.

Если велико, то можно сделать более простое приближение, используя вместо ее собственное приближенное распределение. Действительно, величина (см. 16.6) асимптотически нормальна со средним дисперсией 1. Кроме того, также асимптотически нормальна с параметрами ( но сходимость в этом случае медленнее.

Если

24.6 Обобщим теперь результат из 24.4. Предположим, что х есть -мерный нормальный вектор со средним и невырожденной матрицей рассеяния Можно найти ортогональное преобразование которое приводит квадратичную форму к диагональному виду при этом диагональные элементы матрицы С будут характеристическими числами матрицы Применим далее к масштабное преобразование где элементы диагональной матрицы обратны квадратным корням из соответствующих элементов С, так что Таким образом, есть вектор, состоящий из независимых нормальных величин, имеющих единичную дисперсию. Среднее значение этого вектора равно В и удовлетворяет уравнению Итак, Мы свели теперь задачу к случаю, рассмотренному в 24.4. Отсюда видно, что квадратичная форма где нормальный вектор с матрицей рассеяния V и средним значением имеет нецентральное -распределение с степенями свободы и параметром нецентральности -Это обобщает результат, полученный в 15.10 для многомерных нормальных величин с нулевым средним.

Грейбилл и Марсалья (1957) обобщили теоремы о распределении квадратичных форм от нормальных величин, рассматривавшиеся в и в упражнениях 15.13, 15.17, на случай, когда х имеет среднее Идемпотентность матрицы является тогда необходимым и достаточным условием того, чтобы соответствующая ей квадратичная форма имела нецентральное -распределение. При такой модификации выполняются все теоремы из главы 15.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление