Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 24. КРИТЕРИИ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ И ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГИПОТЕЗА

24.1 Разобранный в главе 18 метод МП является конструктивным методом для получения оценок, которые (при определенных условиях) обладают желаемыми свойствами. К нему близок предложенный Нейманом и Пирсоном (1928) метод отношения правдоподобия используемый для проверки гипотез. Он играет такую же роль в теории проверки гипотез, как метод МП в теории оценивания. Как и прежде, у нас имеется ФП

где вектор параметров также может быть вектором. Мы хотим проверить гипотезу

которая при является сложной, против

Известно, что в этой задаче, вообще говоря, нет РНМ критерия, но может существовать РНМН критерий (см. 23.31).

По методу ОП вначале требуется найти МП-оценки вектора дающие безусловный максимум ФП

и, кроме того, МП-оценки для в предположении, что имеет место Но, при которых достигается условный максимум ФП

В (24.3) использовано обозначение указывающее на то, что в общем случае эти оценки не совпадают с из (24.2).

Рассмотрим теперь отношение правдоподобия

Поскольку (24.4) является отношением условного максимума ФП к безусловному, то, очевидно,

Интуитивно понятно, что I является разумной статистикой критерия для проверки Но. Действительно, она представляет собой максимум правдоподобия при гипотезе отнесенный к своей наибольшей возможной величине, и большое значение I указывает на то, что разумно принять Критическая область этого критерия имеет, следовательно, вид

где определяется по распределению статистики так, чтобы получить критерий размера а именно:

24.2 Для того чтобы метод ОП мог быть полезным при построений подобных критериев, т. е. критериев, основанных на подобных критических областях, распределение статистики не должно зависеть от мешающих параметров. Именно так обстоит дело в большинстве статистических задач. Следующие два примера иллюстрируют предложенный метод. В одном из них он приводит к подобному критерию, а в другом нет.

Пример 24.1

Для нормального распределения

проверяется гипотеза

Здесь

Используя пример 18.11, получаем безусловные МП-оценки

так что

Когда справедлива гипотеза МП-оценкой служит (см. пример 18.8)

и поэтому

Из (24.4), (24.8) и (24.9) находим

где имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы. Отсюда видно, что I является монотонно убывающей функцией от Следовательно, вместо распределения величины I можно использовать известное распределение статистики отвергая процентов наибольших значений что соответствует процентам наименьших значений Таким, образом, получен критерий, основанный на распределении -стати-стики Стьюдента, у которого половина критической области состоит из крайних положительных, а половина — из крайних отрицательных значений величины Это вполне разумный критерий, и в примере 23.14 мы видели, что он является РНМН критерием для гипотезы

Пример 24.2

Рассмотрим снова проблему двух средних, подробно обсуждавшуюся в главах 21 и 23. По выборкам объемов из нормальных совокупностей с параметрами нужно проверить гипотезу которую можно представить (см. 23.2) в виде Обозначим общее неизвестное значение среднего. Имеем

Безусловными МП-оценками служат

так что

Когда выполняется гипотеза то МП-оценки находятся из системы уравнений

Подставляя решение системы (24.10) в ФП, получаем

и отношение правдоподобия равно

Чтобы использовать (24.11), нужно определить Из (24.10) видно, что является решением кубического по уравнения, коэффициенты которого зависят от от сумм наблюдений и от сумм их квадратов по каждой выборке. Мы не можем выписать в виде явной функции, хотя в каждой конкретной задаче уравнение можно решить численно. Во всяком случае распределение получаемого решения зависит от отношения потому что есть функция от и Следовательно, статистика I имеет вид

Таким образом, метод ОП не дает в этом случае подобного критерия.

24.3 Если (как в примере 24.1) оказывается, что статистика ОП является взаимно однозначной функцией некоторой статистики, распределение которой либо известно точно (как в

упомянутом примере), либо может быть найдено, то нетрудно построить критерий для проверки гипотезы хотя вопрос о том, какими желательными свойствами обладают критерии ОП, еще ожидает решения. Однако часто оказывается, что метод ОП не так удобен. Это происходит тогда, когда статистика ОП представляет собой более или менее сложную функцию от наблюдений, точное распределение которой не может быть получено (как в примере 24.2). В таком случае приходится аппроксимировать ее распределение.

Поскольку статистика I распределена на интервале то для любой фиксированной константы величина принимает значения на интервале Естественно поэтому аппроксимировать распределение последней распределением сосредоточенным также на интервале подбирая константу так, чтобы сделать приближение как можно более точным. Причина использования такой аппроксимации состоит в том, что с ростом распределение величины при гипотезе (как будет доказано в 24.7) стремится к распределению степенями свободы. На самом деле мы сможем найти асимптотическое распределение для и при гипотезе но для этого нам необходимо ввести некоторое обобщение -распределения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление