Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Достаточные статистики

17.31 Рассмотренные нами критерии, именно несмещенность, состоятельность, минимальность дисперсии и эффективность, дают довольно разумные характеристики оценок. Для их более глубокого изучения нам потребуется понятие достаточности, введенное Фишером (1921а, 1925).

Пусть сначала оценивается один параметр 6. Имеется бесчисленное множество возможных оценок для и мы должны выбрать какую-то из них. Рассмотрим для выборки объема совместное распределение функционально независимых статистик

из которых нас особо интересует статистика Используя теорему умножения вероятностей (7.9), можно записать это распределение как произведение маргинального распределения на условное распределение других статистик при фиксированном

Если второй сомножитель в правой части (17.66) не зависит от 0, то очевидно, что имеет место ситуация, когда знание, статистик ничего не добавляет к знаниям о параметре полученным на основании статистики Если, далее, это верно для каждого и для любого набора статистик то можно с полным основанием сказать, что содержит всю информацию относительно 0, имеющуюся в. выборке. Статистика будет в этом случае называться достаточной для 0. Таким образом статистика будет достаточной для 6 тогда и только тогда, когда

где не зависит от для и любого набора

17.32 В том виде, в каком оно было дано, определение (17.67) не позволяет в каждом конкретном случае определить, существует ли достаточная статистика. Однако мы можем представить это определениеу в форме условия на функцию правдоподобия. Если последняя может быть записана в виде

где является функцией от не зависит от 0, то легко видеть, что (17.67) можно вывести из (17.68). Действительно, умножим обе части (17.68) на дифференциал и сделаем преобразование

(здесь любое, а набор произволен). Якобиан преобразования не содержит 0, и (17.68) может быть приведено к виду

Проинтегрировав по лишним переменным получим для совместного распределения в точности выражение (17.67).

Следует заметить, что, интегрируя по т. е. по мы предполагали, что при этом не появляются члены, зависящие от 0. Это, конечно, так, если область определения распределения соответствующей переменной не зависит от 0; позже мы увидим что интегрирование остается независимым от 0, даже если один или оба предела интегрирования зависят от 0.

Обратный результат также легко устанавливается. Положим в ; тогда

Умножая обе части (17.70) на дифференциал И совершая преобразование

немедленно получаем (17.68). Таким образом, (17.67) необходимо и достаточно для (17.68). Доказательство было проведено для непрерывных распределений. В дискретном случае оно получается проще, и читатель может провести его сам по той же схеме. Очень общее доказательство эквивалентности (17.67) и (17.68) было дано Халмошем и Сэвиджем (1949).

Мы рассматривали только случай При в качестве определения достаточности берется (17.68).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление