Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Вспомогательные статистики: принцип условности

23.37 Мы знаем, что всегда существует минимальная достаточная система из статистик для параметров Предположим теперь, что распределение подсистемы не зависит от . (Это возможно только в том случае, если распределение неполно, — см. упражнение 23.7.) Тогда функция правдоподобия факторизуется следующим образом:

Это есть соотношение (21.95), записанное в других обозначениях.

Фишер (например, 1956) называет вспомогательной статистикой, а Бартлетт (например, 1939) называет условную статистику квазидостаточной для из-за сходства

(23.117) при известном 0; с факторизацией (17.84), характеризующей достаточную статистику.

Фишер предложил использовать для статистических выводов вообще и для проверки гипотез в частности принцип условности, заключающийся в следующем: если распределение не зависит от как в (23.117), то для получения выводов нам нужно только условное распределение Если достаточна для 0; при известном то из (23.117) сразу получаем представление

показывающее, что распределения зависят каждое от своего параметра и каждое достаточно для своего параметра. В этом случае, без сомнения, в соответствии с общим принципом пункта 23.3 при проверке гипотез о 0а можно ограничиться только функциями от

Однако основной вопрос заключается в том, можем ли мы ограничиться условной статистикой, когда не достаточна для В самом деле, Уэлч (1939) привел пример простой гипотезы о среднем значении прямоугольного распределения с известным размахом, показывающий, что условный критерий, основанный на может оказаться равномерно менее мощным, чем другой (безусловный) критерий.

С ответом на этот вопрос связаны далеко идущие выводы, так как А. Бирнбаум (1962) показал, что принцип условности влечет принцип правдоподобия (и, конечно, следует из последнего), который утверждает (см. 18.32), что любой статистический вывод из наблюдений требует только знания ФП. В частности, из этого принципа следует, что знание деталей выборочной процедуры, с помощью которой получаются наблюдения ничего не дает для последующего статистического вывода.

Многие (возможно, большинство) из статистиков сочтут интуитивно неприемлемым исключать выборочное пространство из рассмотрения при осуществлении статистических выводов. Придерживаясь этой точки зрения, они должны отказаться от принципа правдоподобия, а вместе с ним, автоматически, и от принципа условности.

Пример 23.17

В примере 17.17 было показано, что пара статистик совместно достаточна для параметров нормального распределения и что распределение не зависит от Таким образом, мы имеем соотношение

являющееся частным случаем (23.117) при Принцип условности утверждает, что для проверки гипотез следует пользоваться условной статистикой получилось, что х в данном случае не зависит от но это упрощение никак не связано с аргументацией в общем случае). Однако не является достаточной статистикой для мешающего параметра так что распределение зависит от Если априорное распределение неизвестно, то достичь какого-то успеха можно, лишь более или менее произвольно усредняя по Если мы согласны использовать фидуциальное распределение и интегрировать по нему, то мы возвратимся к ситуации пункта 21.10, где мы получили результат, совпадающий с результатом, полученным при максимизации мощности в примерах 23.7 и 23.14 и состоящим в использовании -распределения Стьюдента.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление