Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Гипотезы с конечными интервалами

23.32 Можно рассматривать также проверку гипотезы

против

или, наоборот,

против

Рассмотрим проверку двух гипотез

против

Применяя снова результат пункта 23.29, на этот раз с мы получаем, что НКО w для проверки Но или против определяется неравенством

или, после подстановки из (23.73),

где могут зависеть от всех параметров, и от Если то условие (23.94) эквивалентно требованию, чтобы значение лежало в некотором интервале

С другой стороны, если или то (23.94) требует, чтобы значение лежало вне интервала Доказательство того, что границы интервала могут зависеть только от значений параметров а также доказательство несмещенности аналогичны приведенным ранее. Таким образом, мы имеем РНМН критерии для и для Как следует из 23.25, оба критерия подобны при Чтобы получить РНМН критерий для надо найти интервал, содержащий (или для ) процентов условного распределения при данном как при так и при Если область, представляющая собой дополнение интервала (или сам интервал), несмещена, то она дает РНМН критерий для проверки

23.23 Теперь мы переходим к некоторым приложениям фундаментальных результатов пунктов 23.30-32, касающихся РНМН критериев для экспоненциального семейства распределений. Отметим сначала, что в примере 23.11 и упражнениях 22.1-22.3, приведенных выше, РНМН критерии для всех четырех типов гипотез были получены непосредственно из распределения одномерной достаточной статистики, без использования условных распределений, поскольку мешающие параметры отсутствовали.

Пример 23.14

В случае независимых наблюдений из нормального распределения пара статистик совместно достаточна для и имеет совместное распределение (см. пример 17.17)

которое может быть записано в виде

представляющем частный случай (23.73). Следуя рассуждениям пункта 23.27, рассмотрим линейную форму от параметров, входящих в (23.97),

где произвольные константы. Мы выберем чтобы, пользуясь результатами 23.30-32, получить РНМН критерии для следующих гипотез.

(1) Положим и будем проверять гипотезы о параметре считая мешающим параметром

В данном случае Из (23.97) видно, что существует РНМН критерий для гипотез касающихся (а следовательно, и основанный на условном распределении при фиксированной на условном распределении при фиксированной Поскольку последние две статистики независимы, можно использовать безусловное распределение или безусловное распределение совпадающее с распределением степенями свободы. Гипотеза была рассмотрена в примерах 23.12, 23.13, где были получены РНМ подобный критерий для гипотезы против односторонних альтернатив и несмещенный критерий для основанный на Теперь мы получили, что последний критерий является РНМН для тогда как односторонний критерий будет РНМН для Гентер и Уиткомб (1966) дают графики для нахождения критических значений РНМН критериев для проверки и при и 0,10.

(2) Чтобы проверять гипотезы, касающиеся запишем (23.98) в виде Зафиксировав значение для мы все же не сможем найти значения при которых этому значению соответствовало бы единственное значение (при неизвестном если Однако, если мы получаем Таким образом, имея РНМН критерии для можно получить РНМН критерии для Используя (23.71), можно показать, что статистика критерия имеет здесь вид при условии что фиксирована

некоторая ортогональная функция, например что сводится к условному распределению при фиксированной Ясно, что в этом случае мы не можем получить критерии для гипотез или относящихся к .

Критерий для проверки гипотезы против односторонних альтернатив был рассмотрен в примере 23.7, где было показано, что -критерий Стьюдента, к которому он сводится, является РНМ подобным критерием для против односторонних альтернатив. Теперь мы видим, что этот критерий Является также РНМН для Мы видим также, что двусторонний -критерий Стьюдента с равными «хвостами», несмещенный для против будет РНМН критерием для

Пример 23.15

Рассмотрим независимых выборок объема из нормальных распределений со средними и общей дисперсией Обозначим Легко показать, что выборочных средних и объединенная сумма квадратов совместно достаточны для параметров. Эти достаточные статистики имеют совместное распределение

представляющее собой простое обобщение (23.96). При выводе (23.99) использована независимость друг от друга и от и тот факт, что величина распределена по закону степенями свободы. (23.99) можно также записать в форме (23.73):

Рассмотрим теперь линейную функцию

(1) Положим (для всех ). Тогда мешающие параметры. Для каждой из рассмотренных в четырех гипотез относящихся к параметру (а следовательно, и к существует

РНМН критерий. Эти критерии основаны на условном распределении при фиксированном векторе на условном распределении том же условии). Точно так же, как в примере 23.14, это приводит к использованию безусловного распределения для получения РНМН критериев.

(2) Рассмотрения, полностью аналогичные приведенным в примере 23.14 (2), показывают, что, полагая мы получим РНМН критерии для где произвольная константа (см. упражнение 23.19). Как и раньше, использование этого метода, связанного с линейной формой не позволяет проверять «интервальные» гипотезы.

(3) При случай (2) сводится к проверке гипотез Критерий для проверки гипотезы был рассмотрен в примере 23.8, где было показано, что он сводится к -критерию Стьюдента и является РНМ подобным критерием. Теперь можно показать, что он также является РНМН для Мы видим также, что двусторонний несмещенный -критерий Стьюдента является РНМН для

Пример 23.16

Обобщим ситуацию примера 23.15, допуская, что дисперсии нормальных распределений могут быть различными. В этом случае имеется достаточных статистик для параметров. Этими статистиками будут суммы и суммы квадратов Положим

(1) Будем считать (для всех ). Для всех четырех гипотез, относящихся к взвешенной сумме величин, обратных генеральным дисперсиям,

можно получить РНМН критерии. В случае имеем

Если мы хотим проверять гипотезы, касающиеся отношения дисперсий то так же, как в случае (2) примеров 23.14, 23.15, мы должны положить После этого РНМН критерии для сводятся к РНМН критериям для

и мы, следовательно, получаем РНМН критерии для гипотез и об отношении дисперсий. Совместное распределение четырех достаточных статистик может быть записано в виде

Согласно 23.27 коэффициент при в распределении (23.103), преобразованном так, чтобы стал одним из его параметров, является точно такой же функцией от какой является от т. е. а РНМН критерии основаны на условном распределении при фиксированных трех функциях от достаточных статистик, ортогональных к и друг к другу, например:

Это эквивалентно тому, что фиксированы

так что статистика эквивалентна

при фиксированном что, в свою очередь, эквивалентно рассмотрению распределения отношения

Таким образом, РНМН критерии для основываются на распределении выборочного отношения дисперсий (см. упражнения 23.14 и 23.17).

(2) Как следует из (23.102), мы не можем получить РНМН критериев для функций от не зависящих от а]. В случае это обстоятельство не позволяет решить данным способом задачу о двух средних.

23.34 Для лучшего понимания результатов пунктов 23.2.7-33 будет полезна их геометрическая интерпретация. В соответствии с (23.73) характеристическая функция имеет вид

и, следовательно, производящая функция семиинвариантов равна

Из (23.104) следует, что семиинвариант равен

откуда

и

Рассмотрим теперь производную

В силу (23.73) и (23.106)

Применяя правило Лейбница, из (23.108) получаем

что в соответствии с (23.107) можно переписать в виде

23.35 Рассмотрим теперь любую критическую область размера а. Ее функция мощности определяется формулой (23.80), и мы можем иначе записать ее в виде интеграла по выборочному пространству достаточных статистик

где обозначает совместную плотность имеющую, как было показано, вид (23.73). Производные функции мощности (23.111) выражаются следующим образом:

так как в (23.111) можно дифференцировать под знаком интеграла. Используя (23.108) и (23.110), получаем из (23.111)

и

Полученное рекуррентное соотношение позволяет нам выразить значение любой производной через низшие производные. В частности, из (23.114) получаем

Из (23.113) и (23.115) следует, что первые две производные представляют собой просто ковариации между и между и квадратом отклонения от своего среднего. Третья и четвертая производные, даваемые формулами (23.116), а также высшие производные являются более сложными функциями от ковариаций и семиинвариантов

23.36 Теперь мы можем перейти к геометрической интерпретации некоторых результатов, полученных в 23.27-33. Чтобы максимизировать мощность, мы должны в соответствии с (23.113) и (23.114) выбрать так, чтобы максимизировать (для всех допустимых альтернатив) ковариацию между или

некоторой функцией от Очевидно, что в -мерном пространстве достаточных статистик это можно сделать, ограничившись подпространством, ортогональным к координатам, соответствующим компонентам ограничившись условным распределением при фиксированном

В случае проверки гипотезы против мы получаем максимум для всех максимизируя т. е. максимизируя для всех Легко видеть, что эта цель достигается, если до состоит из процентов наибольших значений распределения при фиксированном Аналогично, в случае проверки против мы максимизируем минимизируя что может быть достигнуто, если состоит из процентов наименьших значений распределения при фиксированном Поскольку не меняет знака, односторонние критерии несмещены.

В случае двусторонней гипотезы из 23.31 мы должны согласно (23.81) и (23.115) максимизировать т. е. Те же рассуждения, что и в одностороннем случае, показывают, что нужно выбрать область до так, чтобы она содержала процентов наибольших значений так что мы получим двустороннюю критическую область, которая будет симметричной только в том случае, если распределение при фиксированном симметрично. Отсюда следует, что границы РНМН критической области находятся на равном расстоянии от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление