Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Двусторонние альтернативы

23.31 Рассмотрим теперь задачу проверки гипотезы

против

В предшествующих примерах нам не удалось найти РНМН критерия для двусторонних альтернатив этого типа (см. примеры 23.12 и 23.13). Тем не менее для линейной экспоненциальной формы (23.73) РНМН критерий существует.

Из 23.25 следует, что если функция мощности некоторой критической области непрерывна по и несмещена, то она подобна для Далее, для любой области функция мощности имеет вид

где определяется в (23.73). Функция (23.80) непрерывна и дифференцируема под знаком интеграла по 0. Таким образом, для того чтобы критерий, основанный на критической области был несмещенным, необходимо, чтобы при любом значении выполнялось условие

Дифференцируя (23.80) под знаком интеграла и учитывая (23.73) и (23.81), получаем условие несмещенности

или

Поскольку в силу (23.73)

то мы получаем

Подставляя (23.83) в (23.82), находим

Беря сначала условное относительно а затем безусловное математическое ожидание в (23.84), получаем

В силу полноты из (23.85) следует

Далее, любая подобная область для удовлетворяет условию

объединяя которое с (23.86) мы получаем соотношение

где все математические ожидания берутся в предположении, что

Будем проверять теперь простую гипотезу

против простой альтернативы

применяя результат пункта 23.29 при из (23.88), Согласно (23.77) и для проверки против , имеет вид

или

или

Неравенство (23.90) означает, что лежит вне некоторого интервала, т. е.

где могут зависеть от параметров. Мы покажем, однако, зависят только от Как и раньше, достаточность для устраняет зависимость от при заданном а их независимость от непосредственно следует из соотношения (23.86), в силу которого при гипотезе имеем

Правая часть (23.92), где интегрирование ведется по всему выборочному пространству, очевидно, совсем не зависит от 0. Поэтому левая часть тоже не зависит от 0, так что НКО w, определенная неравенствами (23.91), зависит, как это и должно быть, только от Следовательно, эта НКО дает РНМ критерий для против Для доказательства его несмещенности достаточно повторить рассуждения, приведенные в конце пункта 23.30. Таким образом, мы установили, что НКО (23.91) дает РНМН критерий для против Чтобы построить этот РНМН критерий, надо взять в качестве критической области дополнение интервала, содержащего процентов условного распределения при данном когда верна гипотеза если эта область несмещена, она дает РНМН критерий размера

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление