Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

РНМН критерии для экспоненциального семейства

23.27 Теперь мы приступим к изложению некоторых чрезвычайно содержательных результатов, принадлежащих Леману и Шеффе (1955), которые доказали существование и дали метод построения РНМН критериев для различных параметрических гипотез, относящихся к распределениям экспоненциального семейства (17.86). Мы будем записывать совместное распределение независимых наблюдений из такого распределения в виде

где вектор-столбец вектор параметров . В матричных обозначениях выражение под знаком экспоненты в (23.66) может быть записано в виде где — векторы-столбцы.

Предположим теперь, что нас интересует некоторая линейная форма от параметров

где Обозначим А ортогональную матрицу первый столбец которой состоит из коэффициентов формы (23.67), и перейдем к новому -мерному вектору параметров где вектор-столбец с помощью уравнения

Первая строка (23.68) совпадает с (23.67). Предположим теперь, что существует вектор-столбец статистик определяемый соотношением

т. е. предположим, что экспонента в (23.66) может быть записана в виде

Учитывая (23.68), можно переписать (23.69) в виде

Это равенство выполняется тождественно по поэтому или

Сравнивая (23.71) с (23.68), мы видим, что каждая компонента так же выражается через как соответствующая компонента через . В частности, первая компонента согласно (23.67) имеет вид

тогда как ортогональны к

Отметим, что условие не стесняет нас при проверке гипотезы о параметре определенном формулой (23.67), так как для его выполнения требуется лишь изменить постоянный множитель и соответственно подправить гипотезу.

23.28 Таким образом, если мы можем с помощью приема предыдущего пункта свести задачу проверки гипотезы (обычно через посредство достаточных статистик) к стандартной задаче о параметре в распределении

то мы можем воспользоваться результатами, резюмированными в 23.10: при фиксированном гипотетическом значении -компонентный вектор будет полной достаточной статистикой для -компонентного параметра и мы приходим к задаче использования для проверки различных сложных гипотез, касающихся 0, при мешающем параметре

Простые гипотезы являются частным случаем этой ситуации, соответствующим отсутствию мешающих параметров.

23.29 Для решения поставленной задачи нам понадобится более общая формулировка леммы Неймана — Пирсона из 22.10. Пусть плотность, некоторое подмножество допустимых значений вектора параметров Пусть обозначает отдельный элемент отдельное значение . Вектор достаточен для 0, когда принадлежит и имеет распределение Вследствие факторизации правдоподобия в случае достаточности условная плотность при фиксированном не зависит от и мы обозначим ее Пусть, кроме того, неотрицательные функции от наблюдений и от соответственно.

Пусть теперь имеется критическая область для которой

Поскольку произведение в фигурных скобках неотрицательно, оно может рассматриваться как плотность некоторого распределения, и мы можем сказать, что условный размер при фиксированном равен относительно этого распределения. Положим теперь

Произведение в фигурных скобках снова будет плотностью, которую мы обозначим Чтобы проверить простую гипотезу о том, что имеет место против простой альтернативы мы можем использовать (22.6) и получить НКО w размера состоящую из точек, удовлетворяющих соотношению

где неотрицательная константа. (23.76) выполняется при каждом значении поэтому для проверки сложной гипотезы о том, что имеет место какое-то из распределений нужно, чтобы для были выполнены все к неравенств (23.76). Если мы теперь напишем вместо в определении что можно сделать, поскольку функция произвольна, то мы получим, суммируя

неравенства (23.76) для необходимое и достаточное условие для

Это и есть требуемое обобщение. (22.6) получается отсюда как частный случай при (константа), При рассмотрении сложных гипотез (23.77) будет играть ту же роль, что и (22.6) в случае простых гипотез.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление