Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Смещение критериев

23.23 В предыдущей главе (22.26-28) мы кратко рассмотрели задачу проверки простой гипотезы против двустороннего класса альтернатив, когда РНМ критерия, вообще говоря, не существует. Теперь мы рассмотрим эту задачу с другой точки зрения, хотя, как мы увидим, двусторонняя природа альтернативной гипотезы будет несущественной для наших рассуждений.

Пример 23.11

Рассмотрим снова задачу, с которой мы имели дело в примерах 22.2, 22.3 и в 22.27, относящуюся к проверке гипотезы о среднем нормального распределения с известной дисперсией, которую мы для удобства полагаем равной единице. Предположим, что мы ограничиваемся критериями, основанными на распределении выборочного среднего это можно сделать согласно 23.3, поскольку статистиках достаточна. Обобщая (22.55), рассмотрим область размера определенную неравенствами

где теперь не обязательно равно Значения определяются, как и в (22.15), формулами

и

Без ограничения общности мы будем считать

Так же, как и в (22.56), находим мощность критической об ласти (23.47):

где

Будем рассматривать мощность (23.48) как функцию Ее первые две производные равны

и

Согласно только если

В случае выполнения (23.51) из (23.50) получаем

Поскольку мы считаем положительным, то в стационарной точке, которая, следовательно, дает минимум. Согласно (23.51) он достигается при только когда Этот случай был рассмотрен в 22.27. В других случаях единственный минимум находится в некоторой точке где

23.24 Из примера 23.11 вытекает, что (исключая случай в классе альтернатив существуют значения для которых вероятность отвергнуть Но меньше, чем для из (Заметим, что если бы мы рассматривали односторонний класс альтернатив, скажем то такая ситуация возникла бы в случае неправильного расположения критической области, скажем Ясно, что критерий, отвергающий гипотезу с большей вероятностью, когда она верна, чем когда она неверна, нежелателен. В самом деле, мы могли бы улучшить такой критерий, отвергая гипотезу с вероятностью а при помощи таблицы случайных чисел. Мощность такой процедуры всегда была бы равна

Теперь можно сделать следующее обобщение. Будем говорить, что критическая область размера для гипотезы против простой альтернативы дает несмещенный критерий для Но против если ее мощность удовлетворяет условию

В противном случае область и соответствующий ей критерий называются смещенными. Если сложная гипотеза, а (23.53) выполняется для каждого элемента Ни то называется несмещенной критической областью против Ни Следует заметить, что для несмещенности не требуется, чтобы функция мощности имела регулярный минимум в точке как это имело место в примере 23.11 для хотя на практике часто бывает именно так. Рис. 22.3 на странице 244 показывает вид

функций мощности несмещенного критерия (сплошная линия) и двух смещенных критериев.

Если не существует несмещенного критерия, то можно попытаться найти «локально несмещенный типа » критерий (Кришнан, 1966), средняя мощность которого а в окрестности

Свойство несмещенности настолько привлекательно с интуитивной точки зрения, что естественно ограничиться только несмещенными критериями и искать РНМ несмещенные (РНМН) критерии, которые могут существовать даже при двусторонних альтернативах, когда, вообще говоря, не существует РНМ критериев, если класс рассматриваемых критериев не ограничен. Так, в примере 23.11 «симметричные» критерии, основанные на х, являются, как легко видеть, РНМН в классе рассматриваемых в этом примере критериев. В действительности, как будет показано в 23.33, они являются РНМН среди всех критериев для проверки гипотезы

Пример 23.12

Мы перенесли в упражнение 23.13 доказательство того, что для нормального распределения со средним и дисперсией статистика лает пару односторонних РНМ подобных критериев для проверки гипотезы причем соответствующие НКО имеют вид

Теперь мы рассмотрим двустороннюю альтернативную гипотезу

Согласно 22.18 в этом случае не существует РНМ критерия для против ), однако интуитивно кажется разумным использовать статистику расщепляя критическую область на две равные части, соответствующие «хвостам» ее распределения, в надежде получить несмещенность, как в примере 23.11. Таким образом, мы отвергаем если

Эта критическая область, конечно, подобна, так как распределение z не зависит от мешающего параметра Поскольку имеет распределение степенями свободы как при так и при то мы получаем

где есть -процентная точка распределения Если выполнена гипотеза то указанному распределению подчиняется величина так что отвергается, когда

Мощность критерия против любого альтернативного значения равна сумме вероятностей этих двух событий, т. е. вероятности того, что случайная величина, распределенная по закону примет значение вне интервала, определяемого процентными точками, умноженными каждая на На рис. 23.1 приведена функция мощности, полученая с помощью описанных вычислений Нейманом и Пирсоном для Мы видим, что когда мощность меньше а, так что критерий смещен.

Рис. 23.1. Функция мощности критерия для дисперсии нормального распределения (см. текст).

Посмотрим теперь, можно ли путем перераспределения критической области между «хвостами» распределения z устранить смещение. Пусть критическая область имеет вид

где Как и раньше, мощность критерия равна вероятности того, что распределенная по закону степенями свободы случайная величина примет значение вне интервала, определяемого и -процентными точками, умноженными каждая на константу Обозначая F функцию распределения находим

Рассматриваемое как функция от 0, выражение (23.54) дает функцию мощности. Выберем теперь так, чтобы эта функция мощности имела регулярный минимум в точке

в которой она равна размеру критерия. Дифференцируя (23.54), получаем

где плотность Требуя, чтобы производная была равна нулю при получаем

Подставляя в (23.56) функцию плотности

получаем окончательно следующее условие несмещенности:

Значения удовлетворяющие (23.58), дают критерий, функция мощности которого имеет при нулевую производную. Чтобы проверить, является ли полученный критерий строго несмещенным, запишем (23.55), используя (23.57) и (23.58), в виде

где с — положительная константа. Поскольку из (23.59) получаем

откуда следует, что критерий с определенными соотношением (23.58), несмещен в строгом смысле, так как функция мощности монотонно убывает при изменении 8 от до 1 и монотонно возрастает при изменении 8 от 1 до

Таблицы значений и удовлетворяющих (23.58), даны Рамачандраном (1958) для ; другие таблицы описаны в 20.21 (3) в терминах доверительных интервалов (см. 23.26 относительно связи с критериями). В таблице 23.1 сравниваются некоторые значения, полученные Рамачандраном, с полученными из Biometrika Tables значениями для рассмотренного нами критерия с равными «хвостами».

Мы видим, что разности между границами относительно велики при малых При возрастании разность между нижними границами растет, а между верхними убывает. При

Таблица 23.1 (см. скан) Границы для статистики за пределами которых отвергается гипотеза

обе разности составляют свыше 1% от значений соответствующих границ.

Вопрос о том, является ли найденный критерий РНМН, мы отложим до примера 23.14.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление