Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оценивание по методу минимума среднего квадрата ошибки

17.30 Мы рассматривали вопросы о несмещенности и о минимизации выборочной дисперсии более или менее независимо друг от друга. Но иногда их уместно изучать одновременно. Смещение не обязательно должно играть большую роль, чем дисперсия. Что мы в действительности требуем от оценки это чтобы она была «близка» к истинному значению 0. Рассмотрим поэтому вместо ее среднего квадрата ошибки относительно собственного математического ожидания средний квадрат ошибки относительно истинного значения. Получаем

(член с удвоенным произведением равен нулю). Второе слагаемое в правой части есть просто квадрат смещения при оценивании 0. Если несмещенная оценка, то это слагаемое равно нулю и средний квадрат ошибки совпадает с дисперсией

Однако в общем случае минимизация среднего квадрата ошибки дает результаты, отличающиеся от тех, которые получаются при минимизации дисперсии.

Пример 17.14

На какое число нужно умножить выборочное среднее х, чтобы получить для генерального среднего оценку с наименьшим средним квадратом ошибки? Из предыдущих результатов имеем где генеральная дисперсия, объем выборки. Следовательно,

Минимизация последнего выражения по а приводит к уравнению

из которого получаем

Если то и мы получаем несмещенную оценку; но при любом конечном

При известной функциональной связи между можно пойти дальше. Например, если то

Очевидно, рассмотрения такого рода представляют ценность только в случае выборки из распределения, параметры которого связаны известной функциональной зависимостью. Оценивание по методу минимума среднего квадрата ошибки применяется не очень часто, но надо заметить, что причиной этого являются скорее практические трудности, чем теоретические соображения. В некотором смысле успешное изучение несмещенных МД-оценок связано с тем, что требование несмещенности позволяет обойти эти трудности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление