Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Выбор наиболее мощной подобной области

23.20 Важное значение результата пункта 23.19 состоит в том, что он позволяет свести задачу нахождения наиболее мощной подобной области для сложной гипотезы к уже знакомой задаче нахождения НКО для простой гипотезы.

Согласно 23.19 из ораниченной полноты статистики достаточной для при Н, следует, что для всех подобных областей выполняется (23.13), т. е. любая подобная область содержит долю а вероятностной меры каждого контура, соответствующего постояному значению Мы, следовательно, можем считать в наших рассмотрениях статистику постоянной. Из постоянства статистики достаточной для в силу (17.68) следует, что условное распределение наблюдений в выборочном пространстве не будет зависеть от Таким образом, сложная гипотеза сводится к простой гипотезе Но при постоянном значении Если, кроме того, достаточна для при гипотезе

то сложная гипотеза также сводится к простой при постоянном значении этом мощность и размер любой критической области не будут зависеть от Если, однако, не является достаточной для при гипотезе Ни то следует рассматривать как класс простых альтернатив к гипотезе точно так же, как это делалось в предыдущей главе.

Таким образом, сохраняя значение постоянным, мы сводим нашу задачу к проверке простой гипотезы относящейся к против простой альтернативы (или класса простых альтернатив, образующих Для нахождения НКО (или общей НКО) для проверки против можно использовать методы предыдущей главы, основанные на лемме Неймана — Пирсона (22.6). Если такая НКО имеется для каждого фиксированного значения то она, очевидно, будет безусловной НКО, дающей наиболее мощный подобный критерий для против Ни Как и раньше, если этот критерий остается наиболее мощным против класса альтернативных значений он называется РНМ подобным критерием.

Пример 23.7

Проверить против в случае нормального распределения

сложные гипотезы с одной степенью свободы, так как значение не определено. Из примеров 17.10 и 17.15 следует, что статистика (вычисленная по выборке из независимых наблюдений) достаточна для при гипотезе и только при этой гипотезе. Согласно 23.10 и — полная статистика. Следовательно, любая подобная область для содержит долю а каждого контура, соответствующего постоянному значению и.

При фиксированном значении и задача состоит в проверке простой гипотезы против простой альтернативы согласно (22.6) дается в этом случае неравенством

которое сводится после упрощений к условию

где С — константа, зависящая от х только через и. Отсюда следует, что НКО состоит из больших значений х, если

и из малых значений х, если причем это верно независимо от значений Таким образом, мы имеем общую НКО для класса альтернатив Не в каждой из односторонних ситуаций или

Мы считали значение и фиксированным. Теперь

Поскольку НКО для фиксированного значения и состоит из крайних значений х, из (23.38) следует, что НКО состоит из малых значений что согласно (23.39) соответствует большим значениям величины

где квадрат -статистики Стьюдента, распределение которой было выведено в примере 11.8. Из упражнения 23.7 следует, что статистика имея распределение, не зависящее от параметра не зависит от полной достаточной статистики и для Вспоминая теперь о знаке х, мы получаем окончательно, что безусловный РНМ подобный критерий для против состоит в том, что надо отвергнуть наибольшие или наименьшие процентов распределения в зависимости от того, что больше: или

Как мы уже видели, распределение не зависит от Однако мощность РНМ подобного критерия зависит от так как и не является достаточной статистикой для когда не выполняется. Поскольку любая подобная область для На состоит из долей а каждого контура, соответствующего постоянному значению и, и распределение на любом таком контуре зависит от при гипотезе то не существует ни одной подобной области для Но, мощность которой не зависела бы от Этот результат был впервые получен Данцигом (1940).

Пример 23.8

Для двух нормальных распределений со средними и общей дисперсией проверить гипотезу

против

на основе независимых выборок объемов со средними Обозначим

Обе гипотезы являются сложными с двумя степенями свободы. Когда выполнена (но не в других случаях), пара статистик достаточна для мешающих параметров как следует из 23.10, полна. Таким образом, все подобные области для удовлетворяют (23.13), и при фиксированых мы должны проверить простую гипотезу против гипотезы

Исходная гипотеза представляет собой класс гипотез соответствующих всем полученная с помощью (22.6), после упрощений принимает вид

где постоянная, зависящая от всех параметров и от но не зависящая от наблюдений никаким другим способом. Следовательно, при фиксированных определяется крайними значениями имеющими знак, противоположный знаку , причем это справедливо при любых значениях других параметров. Из (23.41) следует, что для любых фиксированных будет состоять из больших значений величины или, что эквивалентно, монотонно возрастающей функции от нее

(23.42) есть определение обычной -статистики Стьюдента в данной задаче, с которой мы уже имели дело в 21.12 как с задачей интервального оценивания. В силу упражнения 23.7 статистика распределение которой не зависит от параметров распределена независимо от полной достаточной статистики для Таким образом, безусловный РНМ подобный критерий для Но против заключается в том, чтобы отвергнуть процентов наибольших или наименьших значений в распределении в соответствии с тем, положительно (или, в общем случае, или отрицательно.

Здесь, как и в предыдущем примере, мощность НКО зависит от поскольку статистики не образуют достаточной системы, если Н не выполнена.

Пример 23.9

Проверить сложную гипотезу против в случае распределения

В примере 17.19 было показано, что наименьшее из наблюдений достаточно для мешающего параметра 8 как при гипотезе так и при В силу 23.12 эта статистика полна. Следовательно, любая подобная область содержит долю а каждого контура, соответствующего постоянному значению При фиксированном гипотезы Но и становятся простыми. НКО, полученная из (22.6), состоит из точек, удовлетворяющих неравенству

где константа, зависящая от Таким образом, при каждом фиксированном мы получаем НКО вида

Распределение статистики в (23.43) зависит от Чтобы преобразовать (23.43) к более удобной для использования форме, заметим, что распределение статистики

не зависит от (Это следует из полноты и достаточности см. упражнение 23.7 ниже.) Поэтому, если мы перепишем (23.43) для фиксированного в виде

где то мы получим в левой части (23.43) статистику, крайние значения которой для каждого фиксированного определяют НКО и распределение которой не зависит от х. Таким образом, (23.44) дает безусловную НКО в каждой из односторонних ситуаций его, т. е. мы получаем обычную пару РНМ критериев.

Заметим, что в этом примере достаточность как при Но, так и при делает мощность РНМ критерия не зависящей от параметра расположения .

23.21 В примерах 23.7 и 23.8 было дано тщательное обоснование двух стандартных процедур, относящихся к средним нормального распределения. В упражнениях 23.13 и 23.14 с помощью таких же рассуждений обосновываются две стандартные процедуры, относящиеся к дисперсиям, причем в обоих случаях находится пара РНМ подобных односторонних критериев. К сожалению, не все задачи проверки гипотез, связанных с нормальным распределением, решаются столь же успешно. Так, наиболее трудная из этих задач, задача о двух средних, которая детально рассматривалась в главе 21, как показывает следующий пример, не может быть решена с помощью использованных выше методов.

Пример 23.10

Для двух нормальных распределений со средними и дисперсиями проверить гипотезу на основании двух независимых выборок, состоящих из наблюдений.

Если выполнена гипотеза , то выборочные средние и дисперсии образуют систему из четырех совместно достаточных статистик для трех параметров значения которых не определяются гипотезой Используя (23.21), можно также показать, что они дают минимальную достаточную систему (см. Леман и Шеффе (1950)). Однако статистика не будет ограниченно полной, поскольку распределены нормально независимо от и друг от друга, так что любая ограниченная нечетная функция от будет иметь нулевое математическое ожидание. Мы, следовательно, не можем использовать (23.13) для нахождения всех подобных областей, хотя согласно 23.8 области, удовлетворяющие (23.13), конечно, будут подобными. Далее, из того факта, что функция правдоподобия содержит четыре компоненты и не содержит других функций от наблюдений, немедленно следует, что любая область, целиком состоящая из долей а каждой поверхности, соответствующей постоянному значению будет иметь одну и ту же вероятностную меру в выборочном пространстве при любых значениях и будет, следовательно, неэффективной критической областью с мощностью, в точности равной ее размеру. Этот неприятный аспект хорошо знакомого и полезного свойства нормального распределения был отмечен Ватсоном (1957а).

Для приведенной задачи не существует никакой полезной точной нерандомизованной подобной области (см. Линник (1964)). Если мы согласны использовать асимптотически подобные области, можно применить метод Уэлча, изложенный в 21.25, в качестве одного из способов интервального оценивания; если же допустить введение рандомизации, то можно прибегнуть к методу Шеффе Связь терминологии доверительных интервалов с терминологией теории критериев рассматривается в 23.26 ниже.

23.22 Из рассмотрений пункта 23.20 и примеров становится ясно, что если имеется полная достаточная статистика для мешающего параметра, то задача выбора наиболее мощного критерия для сложной гипотезы значительно упрощается, если мы ограничим наш выбор подобными областями. Однако на этом можно и проиграть: для определенных альтернатив может существовать неподобный критерий, удовлетворяющий (23.6) и обладающий большей мощностью, чем наиболее мощный подобный критерий.

Леман и Стейн (1948) рассмотрели эту задачу для сложных гипотез из примера 23.7 и упражнения 23.13. В первом случае, где проверяется гипотеза о среднем нормального распределения, они нашли, что при не существует неподобного критерия более мощного, чем -критерий Стьюдента, каковы бы ни были однако при (как всегда бывает на практике) существует более мощная критическая область, имеющая вид

Аналогично, в случае проверки гипотезы о дисперсии нормального распределения (упражнение 23.13 ниже) они нашли, что при не существует более мощного неподобного критерия, однако при область

является более мощной, чем наилучшая подобная критическая область.

Таким образом, если мы достаточно ограничим класс альтернатив Ни то мы сможем иногда, снимая требование подобия, улучшить мощность критерия, делая в то же время ошибку первого рода в среднем меньшей На практике, однако, это не служит очень сильным аргументом против использования подобных областей, и именно потому, что мы редко находимся в ситуации, когда диапазон альтернатив к сложной гипотезе ограничен.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление