Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Минимальная достаточность

23.15 В 17.38 указывалось, что, когда мы рассматриваем достаточные статистики в общем случае (т. е. не ограничиваясь, как это делалось ранее в главе 17, случаем одномерной достаточности), нам приходится выбирать между различными системами достаточных статистик. В случае выборки объема всегда имеется система из достаточных статистик (а именно сами наблюдений) для параметров распределения, из которого извлечена выборка. Иногда, хотя и не всегда, имеется

достаточная система из статистик. Часто например, это имеет место во всех случаях достаточности, рассмотренных в примерах 17.15, 17.16, где и в примере 17.17, где В противоположность этому, в следующем примере рассматривается случай

Пример 23.4

Рассмотрим снова задачу примера 22.11 с единственным изменением, состоящим в том, что а не как прежде. Точно так же, как раньше, находим совместное распределение

Ясно, что статистика х одна достаточна для параметров

23.16 Итак, возникает вопрос о том, каково наименьшее число статистик, образующих достаточную систему для некоторой задачи. Леман и Шеффе (1950) определяют минимальный достаточный вектор статистик как вектор, являющийся функцией от всех других векторов, достаточных для параметров распределения. Каким образом, однако, можно в любой конкретной задаче проверить, является ли некоторый достаточный вектор минимальным? И можно ли указать способ построения минимального достаточного вектора?

Частичный ответ на первый вопрос дает следующий результат. Если вектор является ограниченно полной достаточной статистикой для , а вектор и есть минимальная достаточная статистика для , то эквивалентны, т. е. они могут отличаться лишь на множестве меры нуль.

Доказывается это просто. Пусть область в выборочном пространстве, для которой

где функция определена в (23.3). Беря в (23.28) математические ожидания по всему выборочному пространству, получаем

Так как и — минимальная достаточная статистика, то она по определению является функций от другой достаточной статистики Следовательно, (23.28) можно записать в виде

Однако поскольку ограниченная функция, то (23.29) и (23.30) противоречат предположению об ограниченной полноте Таким образом, не существует области для которой выполнялось бы (23.28), и, следовательно, эквивалентны, т. е. минимальная достаточная статистика.

Обратное неверно: в то время как ограниченная полнота влечет минимальную достаточность, минимальная достаточность может существовать без ограниченной полноты. В этом отношении поучителен пример 23.10, приводимый ниже.

Как следствие доказанного результата получаем, что не может быть более одной ограниченной полной достаточной статистики. В примере минимальная достаточная статистика полна, тогда как х достаточна, но неполна.

Другая постановка задачи о минимальной достаточности дана Дынкиным (1951).

23.17 В силу результатов относящихся к полноте достаточных статистик, из 23.16 следует, что все достаточные статистики, рассмотренные нами в предыдущих главах, являются, как и следовало ожидать из интуитивных соображений, минимально достаточными.

23.18 Более прямым способом нахождения минимальной достаточной статистики, чем метод пункта 23.16, служит следующая процедура, предложенная Леманом и Шеффе (1950).

В 22.14 и 22.20 было показано, что при проверке простой гипотезы отношение правдоподобия является функцией достаточной статистики (системы достаточных статистик). Теперь мы можем, так сказать, обратить этот результат и использовать его для нахождения минимальной достаточной системы. Обозначая, как и прежде, функцию правдоподобия могут быть векторами), рассмотрим некоторое значение и найдем все допустимые значения х, для которых и отношение

не зависит от 8. Любая достаточная (возможно, векторная) статистика удовлетворяет (17.68), поэтому

так что если то (23.32) имеет вид (23.31). Обратно, если

(23.31) выполняется для всех 8, то достаточная статистика постоянна и равна Это свойство может быть использовано для распознавания достаточных статистик и нахождения минимальной системы, как это сделано в следующих примерах.

Пример 23.5

В примере 17.17 было показано, что система статистик совместно достаточна для параметров нормального распределения. Для этого распределения при всех Условие (23.31) после логарифмирования сводится к требованию, чтобы выражение

не зависело от т. е. чтобы выражение в фигурных скобках было равно нулю. Это будет выполнено, например, если каждое равно соответствующему что лишний раз доказывает совместную достаточность наблюдений, которая, как мы отмечали, имеет место всегда.

Условие (23.33) будет также выполнено, если образуют некоторую перестановку значений таким образом, система порядковых статистик достаточна, что, впрочем, также всегда справедливо. Наконец, это условие будет выполнено, если

и ясно, что еще меньшей системы, для которой оно было бы выполнено, не существует. Таким образом, пара образует минимальную достаточную систему. Поскольку то пара будет также минимальной достаточной.

Пример 23.6

К другой ситуации мы приходим в случае распределения Коши, рассмотренном в примере 17.7. Функция правдоподобия для распределения Коши всюду отлична от нуля, и (23.31) соответствует требованию, чтобы отношение

не зависело от . Как и в предыдущем примере, система порядковых статистик Достаточна, однако меньшей системы найти не удается. Действительно, поскольку (23.35) является отношением двух многочленов степени по 9, то для

независимости от каждый из них должен иметь (с точностью до перестановки) один и тот же набор корней. Таким образом, мы не можем найти ничего лучшего, чем порядковые статистики, в качестве минимальной достаточной системы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление