Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Полнота достаточных статистик

23.10 В частном случае экспоненциального семейства (17.83) при и получаем

Если

при всех 0, то

Интеграл в (23.18) есть двустороннее преобразование Лапласа функции, написанной под интегралом в квадратных скобках. В силу единственности преобразования существует только одна функция, имеющая в качестве преобразования нуль, а именно функция, тождественно равная нулю. Таким образом, тождественно по х

откуда следует, что тождественно по х

т. е. семейство полно.

Как показали Леман и Шеффе (1955), этот результат обобщается на многопараметрический случай: экспоненциальное семейство с параметрами и переменными

полно. В упражнении 17.14 мы нашли совместное распределение статистик, совместно достаточных для параметров одномерного экспоненциального семейства (17.86). Формула (23.19) получается как частный случай этого распределения при (Величинам из упражнения 17.14 здесь соответствуют ) В соответствии с 23.3 при проверке гипотез о параметрах мы можем ограничиться рассмотрением только достаточных статистик.

Пример 23.2

Рассмотрим семейство нормальных распределений

(а) Если известно (скажем, равно 1), то семейство полно относительно так как тогда мы имеем дело с частным случаем семейства (23.17), где

(б) Если, с другой стороны, известно (скажем, равно ), то семейство не будет даже ограниченно полпым относительно так как -четная функция от х, и поэтому любая нечетная функция будет иметь нулевое математическое ожидание, не являясь в то же время тождественным нулем.

23.11 В 23.10 мы интересовались полнотой характеристической формы совместного распределения достаточных статистик для выборок из распределения, сосредоточенного на множестве, не зависящем от параметров. Хогг и Крэйг (1956) доказали полноту достаточной статистики для распределения, определенного на интервале, границы которого зависят от единственного параметра , и обладающего одномерной достаточной статистикой. В 17.40-41 было доказано, что в этом случае исходное распределение должно иметь вид

и что

(I) если только одна граница интервала, на котором задана является функцией от 8 (без потери общности можно считать, что эта функция есть просто ), то соответствующая экстремальная статистика будет достаточной;

(II) если обе границы зависят от и верхняя граница является монотонно убывающей функцией от нижней границы , то существует одномерная достаточная статистика, имеющая вид

Мы рассмотрим отдельно каждый из случаев (I) и

23.12 Пусть в случае (I) верхняя граница равна , а нижняя постоянна и равна а. Тогда статистика достаточна для , а

ее распределение согласно (11.34) и (23.20) имеет вид

Предположим теперь, что для некоторой статистики выполнено соотношение

которое, используя (23.22) и опуская множитель с можно записать в виде

Дифференцируя (23.23) по 0, находим

Поскольку интеграл в фигурных скобках равен то из (23.24) следует, что для любого

Таким образом, функция тождественно равна нулю и распределение (23.22) статистики полно. Приведенное доказательство справедливо также в случае, когда от параметра зависит нижняя граница.

23.13 В случае (II) функция распределения достаточной статистики (23.21) имеет вид

Дифференцируя ее по находим плотность

Пусть теперь для некоторой статистики выполняется соотношение

Дифференцируя (23.27) по 9 и повторяя рассуждения пункта 23.12, получаем, что для любого 9. Таким образом, функция тождественно равна и распределение определяемое формулой (23.26), полно.

23.14 Ниже приводится пример неполной одномерной достаточной статистики.

Пример 23.3

Рассмотрим выборку, состоящую из одного наблюдения случайной величины, имеющей прямоугольное распределение

Очевидно, достаточная статистика. (В случае одномерной достаточной статистики не существует, поскольку не выполнено условие (II) пункта 23.11.)

Для любой периодической с периодом 1 функции удовлетворяющей соотношению

получаем

Отсюда следует, что рассматриваемое распределение не является даже ограниченно полным, поскольку не равна тождественно нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление