Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Размер критерия для сложных гипотез: подобные области

23.4 Поскольку сложная гипотеза оставляет неопределенными значения некоторых параметров, то немедленно возникает новая проблема, связанная с тем, что размер критерия для гипотезы будет, очевидно, в общем случае зависеть от значений мешающего параметра

Если мы хотим, чтобы ошибка первого рода была не выше некоторого заданного уровня, то мы должны найти критическую область, размер которой не превышал бы этого уровня при любом возможном значении Таким образом, требуется, чтобы было выполнено неравенство

Если для всех имеет место точное равенство

то мы получаем (критическую) область, подобную выборочному пространству относительно или, короче, подобную (критическую) область. Критерий, основанный на подобной критической области, называется подобным критерием.

23.5 Совсем не очевидно, существуют ли в общем случае подобные области вообще. Однако, как указал Феллер (1938), они существуют в случае выборки, состоящей из одинаково распределенных независимых наблюдений непрерывной варианты х. Действительно, независимо от вида распределения и значений его параметров всегда имеет место соотношение

(см. 11.4), поскольку все я! перестановок величин одинаково вероятны. Таким образом, для любого а, кратного имеются подобные области, основанные на гиперсимплексах в выборочном пространстве, полученных с помощью перестановок индексов в (23.8).

23.6 Если ограничиться областями, определяемыми симметричными функциями от наблюдений (так что подобные области, основанные на (23.8), будут тогда исключены из рассмотрения), то нетрудно увидеть, что такие подобные области могут существовать для одних объемов выборок и не существовать для других. Например, для выборки объема из нормального распределения

не существует подобной области относительно при Однако при из того факта, что имеет распределение степенями свободы при любом 9, следует, что подобные области любого размера могут быть найдены с помощью распределения статистики Это происходит потому, что х служит одномерной достаточной статистикой для , и, чтобы найти подобную область, надо, согласно упражнению 23.3, найти статистику, некоррелированную с

Это невозможно сделать при поскольку совпадает в этом случае со всей выборкой. Однако при сумма распределена независимо от х и дает, следовательно, подобные области. Аналогичная ситуация наблюдается в упражнении 23.1, где имеется пара достаточных статистик для двух параметров и требуется по меньшей мере три наблюдения, чтобы иметь статистику, независимую от обеих достаточных статистик.

23.7 Даже при большом симметричные подобные области могут не существовать, если добавление каждого наблюдения связано с добавлением нового параметра, как это имеет место в следующем примере, принадлежащем феллеру (1938).

Пример 23.1

Рассмотрим выборку из наблюдений, в которой наблюдение имеет распределение

так что

Для подобной области размера а тождественно по выполняется равенство

Используя (23.3), можно переписать это условие в виде

где все выборочное пространство. Дифференцируя (23.9) по находим

Второе дифференцирование по дает

Далее, из определения следует, что

является некоторой (совместной) плотностью распределения. Соотношения (23.10) и (23.11) выражают тот факт, что маргинальные распределения в имеют математические ожидания и дисперсии

такие же, как сами величины

Изучение распределения приводит к выводу, что, производя дальнейшие дифференцирования, мы бы нашли, что все моменты совпадают с моментами распределения (которое однозначно определяется своими моментами). Таким сбразом, из (23.10) следует тождество Но поскольку функция может быть равна только или 1,

мы приходим к заключению, что подобные области могут существовать лишь для двух тривиальных значений а, равных О или 1. Трудность в данном случае заключается в том, что для образования достаточного набора статистик для параметров требуются все наблюдений, так что найти независимую от них статистику невозможно.

23.8 И все-таки для многих задач проверки сложных гипотез подобные области существуют при любом размере критерия а и любом объеме выборки Мы рассмотрим теперь методы нахождения таких областей.

Пусть -дрстаточная статистика для параметра значение которого не определяется гипотезой и пусть имеется критическая область такая, что для всех значений при выполнении гипотезы о справедливо соотношение

Беря математическое ожидание относительно мы, аналогично (23.5), получаем равенство

из которого следует, что исходная критическая область является подобной областью размера а (Нейман (1937b) и Бартлетт (1937)). Таким образом, содержит долю а вероятностной меры каждого контура, соответствующего постоянному значению

Следует заметить, что в. данном случае требуется, чтобы статистика была достаточной только для мешающего параметра и только когда верна . В 23.3 требования были более жесткими.

Из наших рассуждений вытекает, что (23.13) служит достаточным условием того, чтобы была подобной. В 23.19 мы покажем, что (23.13) при одном дополнительном требовании будет необходимым и достаточным условием. Чтобы сформулировать это требование, мы введем, следуя Леману и Шеффе (1950), понятие полноты параметрического семейства распределений. Это понятие позволит нам также продолжить изучение достаточных статистик, начатое в главе 17.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление