Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оптимальное свойство достаточных статистик

23.3 Сейчас уместно доказать свойство оптимальности достаточных статистик, аналогичное свойству, полученному в 17.35. Там было показано, что если несмещенная оценка параметра достаточная статистика для , то статистика является несмещенной оценкой для с дисперсией, не превосходящей дисперсии Теперь мы докажем следующий результат, принадлежащий Леману: если критическая область для гипотезы о параметре распределения против некоторой альтернативы достаточная статистика для как при так и при Ни то существует критерий такого же размера, основанный на некоторой функции от и имеющей мощность, равную мощности Определим функцию

Тогда интеграл

даст вероятность того, что выборочная точка попадет в следовательно, равен размеру критерия , когда верна гипотеза и равен мощности критерия, когда верна Используя

свойство факторизации функции правдоподобия (17.68), выполняющееся при наличии достаточной статистики, можно записать (23.4) в виде

где математическое ожидание вне фигурных скобок берется по распределению статистики Таким образом, функция от не зависит от , поскольку -достаточная статистика, и имеет математическое ожидание, равное математическому ожиданию Следовательно, существует основанный на достаточной статистике критерий, имеющий размер и мощность исходной области Учитывая этот факт, при рассмотрении любой задачи о проверке гипотез можно ограничиться функциями от достаточных статистик, не теряя при этом мощности.

Это достаточно общий результат, охватывающий, в частности, случай проверки простой гипотезы Но, изученный в главе 22.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление