Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Эффективность

17.28 До сих пор мы занимались точными результатами, относящимися к МД-оценкам, в том смысле, что на. объем выборки не накладывалось никаких ограничений. Теперь мы переходим к рассмотрению свойств, справедливых лишь для больших выборок. Дело в том, что если даже МД-оценка не существует ни для какого значения то такая оценка может существовать для Большинство Оценок, с которыми мы имеем дело, в силу центральной предельной теоремы распределены асимптотически нормально; поэтому при больших выборках распределения таких оценок будут характеризоваться только двумя параметрами — средним и дисперсией. Если оценка состоятельна, то она, как правило, будет асимптотически несмещенной (см. 17.9). Поэтому основным средством сравнения состоятельных, асимптотически нормальных оценок некоторой функции от параметра становится дисперсия.

Оценка такого рода, имеющая минимальную Дисперсию для больших выборок, называется эффективной. Этот термин был введен Фишером (1921а). Из результатов 17.26 следует, что все эффективные оценки асимптотически эквивалентны.

17.29 В случае асимптотически нормальных оценок и больших в отличие от случая малых и оценок с произвольным распределением, разумно ввести меру эффективности оценки. Мы определим эффективность некоторой оценки по отношению к эффективной оценке как величину, обратную отношению объемов выборок, приводящих к одной и той же дисперсии оценки, т. е. дающих одинаковую точность.

Если эффективная оценка, а -некоторая другая оценка и если (как это обычно бывает) дисперсия для большой выборки есть простая функция от величины, обратной объему выборки, то нашему определению эффективности можно придать простую форму. Пусть

где константы, не зависящие от а под знаком дисперсии указан объем выборки. Чтобы получить мы должны иметь

т. е.

Так как по предположению эффективна, то При второй множитель в правой части (17.63) стремится к нулю; следовательно, чтобы произведение оставалось равным должно выполняться условие

которое показывает, что эффективность равна нулю. При имеем равенство

которое в силу (17.62) может быть записано в виде

Эффективность 4 обратна этой величине и равна

Заметим, что при дает тот же результат, что и (17.64). Если как это чаще всего бывает, то (17.65) сводится к величине, обратной отношению дисперсий. С этим случаем мы встречались в 17.27. Таким образом, при сравнении оценок с дисперсиями порядка эффективность по отношению к эффективной оценке обратна отношению дисперсий.

Если дисперсия эффективной оценки не имеет такой простой формы, как в (17.62), то измерение относительной эффективности становится более трудной задачей (см. упражнение 18.21).

Пример 17.12

В примере 17.6 мы показали, что выборочное среднее является МГД-оценкой для среднего нормальной совокупности с дисперсией Тем более оно будет эффективной оценкой. В примере 11.12 было показано, что выборочное среднее имеет точное нормальное распределение. В 17.11-12 мы видели, что выборочная медиана распределена асимптотически нормально со средним и дисперсией Таким образом, из (17.65) с следует, что эффективность выборочной медианы равна

Пример 17.13

Оценка с большей эффективностью, без сомнения, предпочтительней оценки с меньшей эффективностью, если другие характеристики этих оценок одинаковы. Но эти характеристики могут быть и разными. Так, иногда получение эффективной оценки требует больше вычислений, чем получение некоторой другой оценки Трудности, связанные с увеличением объема вычислений, могут в этом случае свести на нет выигрыш от уменьшения числа наблюдений, особенно когда легко получить дополнительные наблюдения.

Рассмотрим задачу оценивания стандартного отклонения нормальной совокупности с неизвестной дисперсией и неизвестным средним. Двумя возможными оценками стандартного отклонения являются выборочное стандартное отклонение и выборочное среднее отклонение, умноженное на (см. 5.26). Вторая оценка, как правило, вычисляется легче, и если в нашем распоряжении имеется много наблюдений (например, ищется стандартное отклонение показаний барометра и есть

запись большого числа этих показаний), то может оказаться, что, лучше пользоваться средним отклонением, а не стандартным отклонением. (Обе оценки асимптотически нормальны.) В случае больших выборок дисперсия среднего отклонения равна (см. (10.39)). Дисперсия соответствующей оценки для а получается умножением этой величины на

Стандартное отклонение имеет дисперсию (см. причем дальше мы увидим, что оно является эффективной оценкой. Таким образом, можно вычислить эффективность первой оценки

Точность оценки, основанной на среднем отклонении и вычисленной по выборке объема 1000, следовательно, примерно равна точности стандартного отклонения, вычисленного по выборке объема 876. Если легче вычислить среднее отклонение 1000 наблюдений, чем стандартное отклонение 876 наблюдений, и недостатка в наблюдениях нет, то. может оказаться предпочтительней взять первую оценку.

Однако надо помнить, что, используя такую процедуру, мы сознательно соглашаемся на потерю части информации. Приложив дополнительные усилия, мы могли бы увеличить эффективность нашей оценки с 0,876 до единицы, или примерно на 14 процентов от первоначальной величины.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление