Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Функция мощности

22.24 Рассмотрение задачи проверки простой гипотезы против сложной гипотезы приводит к обобщению понятия мощности критерия, определенного в (22.2). Согласно этому определению мощность является явной функцией от Если, как это обычно бывает, образуется в результате изменения значений набора параметров то мощность критерия для проверки гипотезы против простой альтернативы будет зависеть от значения Так, в примере 22.3 было показано, что мощность выборочного среднего х как критерия для проверки гипотезы о том, что среднее нормального распределения равно против альтернативного значения дается выражением (22.18), являющимся монотонно возрастающей функцией от называется функцией мощности критерия х для проверки против класса альтернатив Последняя запись указывает на то, что сложная гипотеза, в противоположность записи используемой для обозначения простой гипотезы.

Функция мощности редко находится так просто, как в примере 22.3, поскольку, даже если выборочное распределение точно известно как для так и для класса альтернатив (а чаще известны только приближения, особенно для остается еще задача вычисления (22.2) для каждого значения из Ни которая обычно решается только с помощью численных методов. Лишь в редких случаях функция мощности находится с помощью табулированных интегралов, как это имело место в (22.18). В асимптотическом случае, однако, на помощь приходит центральная предельная теорема: распределения многих статистик критериев с возрастанием объема выборки стремятся к нормальному как при гипотезе Но, так и при Ни и тогда асимптотическая функция мощности, как мы увидим позже, будет иметь вид (22.18).

Пример 22.12

Общий вид функции мощности (22.18) в примере 22.3 представляет собой просто функцию нормального распределения. Она возрастает от значения

при (в соответствии с требованием размера критерия) до значения

при с одновременным возрастанием производной при дальнейшем изменении убывает и стремится к нулю, возрастает, приближаясь к 1,

22.25. Зная функцию мощности критерия, мы можем поставить вопрос о нахождении объема выборки, необходимого для проверки гипотезы с заданным размером и мощностью. Эта процедура иллюстрируется следующим примером.

Пример 22.13

Сколько наблюдений надо взять в примере 22.3, чтобы можно было проверить гипотезу (т. е. и мощностью, не меньшей 0,75, против альтернативы Другими словами, как велико должно быть чтобы обеспечить вероятность ошибки первого рода 0,05 и вероятность ошибки второго рода не более 0,25 для

Согласно (22.18) нам нужно найти такое чтобы было выполнено равенство

(очевидно, что для мощность будет больше). Из таблиц нормального распределения находим

и, следовательно,

откуда

так что объем выборки будет достаточным для того, чтобы критерий обладал требуемой мощностью.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление