Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

РНМ критерии и достаточные статистики

22.20 В 22.14 было показано, что при проверке простой параметрической гипотезы против простой альтернативы НКО определяется (совместно) достаточной статистикой для параметра (параметров), если такая существует. Если же проверяется простая гипотеза против сложной гипотезы представляющей собой класс простых параметрических альтернатив, то, как непосредственно вытекает из рассуждений пункта 22.14, если существует общая НКО, дающая РНМ критерий, и достаточная статистика для параметра (параметров), то НКО будет определяться статистикой Однако поскольку РНМ критерий не всегда существует, то возникают новые вопросы. Следует ли из существования РНМ критерия существование

соответствующей достаточной статистики? И наоборот, гарантирует ли существование достаточной статистики существование соответствующего РНМ критерия?

22.21 На первый из вопросов может быть дан утвердительный ответ при одном дополнительном ограничении. Как показали Нейман и Пирсон (1936а), если (I) существует общая НКО и, следовательно, существует РНМ критерий для Н против любого размера а в интервале а не обязательно равно 1) и если (2) каждая точка выборочного пространства (за исключением, возможно, точек множества меры нуль) принадлежит границе НКО по крайней мере для одного значения а и при этом соответствует значению то существует одномерная достаточная статистика для параметра (параметров), изменение которого (которых) порождает класс допустимых альтернативных гипотез

Чтобы установить этот результат, мы заметим сначала, что если НКО, общая для всех альтернатив класса существует для двух размеров критериев то общая НКО размера «2 может быть всегда получена как подобласть размера «1. Это следует из того факта, что любая общая НКО удовлетворяет (22.6). Мы можем, следовательно, не теряя общности, считать, что, когда а убывает, соответствующие НКО получаются просто исключением некоторых точек

Предположим теперь, что выполнены условия (1) и (2). Если некоторая точка (скажем, области принадлежит границе НКО только при одном значении а, то мы определим статистику равенством

Если точка х принадлежит границе НКО при более чем одном значении а, то, обозначая наименьшее и наибольшее из этих значений, положим

Из замечания в предыдущем абзаце следует, что х будет принадлежать границе НКО для всех а из интервала Таким образом, для всех точек (за исключением, возможно, множества меры нуль) соотношениями (22.43) и (22.44) определена статистика Далее, если принимает одно и то же значение в двух точках, то они должны принадлежать одной и той же границе. Следовательно, из (22.6) мы получаем

где зависит от наблюдений только через статистику Таким образом, мы должны иметь

так что одномерная статистика достаточна для рассматриваемого набора параметров

22.22 Мы уже рассматривали в примере 22.2 случай, когда существует одновременно одномерная достаточная статистика и РНМ критерий. В упражнениях 22.1-22.3 содержатся дальнейшие примеры. Однако если условие (2) пункта 22.21 не выполнено, то из существования РНМ критерия может не следовать существование одномерной достаточной статистики. Следующий пример иллюстрирует это утверждение.

Пример 22.10

В примере 22.9 было показано, что распределение (22.41) допускает РНМ критерий для описанных в этом примере Этот РНМ критерий основан на НКО (22.42), зависящей от

Ранее было показано (см. 17.36, пример 17.19 и упражнение 17.9), что наименьшее наблюдение достаточно для при известном а и что х достаточно для а при известном 0. Пара статистик совместно достаточна, однако одномерной достаточной статистики для и о не существует.

22.23 С другой стороны, следующий пример показывает, что может существовать одномерная статистика, в то время как одностороннего РНМ критерия не существует, даже когда дело касается одномерного параметра.

Пример 22.11

Рассмотрим случайных величин имеющих совместно многомерное нормальное распределение. Пусть

а матрица рассеяния имеет вид

Нетрудно найти, что определитель этой матрицы равен

а обратная матрица равна

Таким образом, в силу 15.3 получаем совместное распределение

Рассмотрим теперь задачу проверки гипотезы против на основе одного наблюдения. Согласно (22.6) НКО задается неравенством

которое равносильно неравенству

или

Если то мы получаем

что

В случае для НКО получаем

т. е.

Как в (22.50), так и в (22.52) пределы, внутри или вне которых должно находиться х, зависят от точного значения Это обстоятельство, вызванное тем, что входит в коэффициент при в (22.49) и (22.51), означает, что даже для класса односторонних альтернатив не существует НКО, а следовательно, и РНМ критерия.

Легко проверить, что х является одномерной достаточной статистикой для 0. Этот факт завершает доказательство того, что одномерная достаточность не влечет существования РНМ критерия.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление