Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

РНМ критерии в случае нескольких параметров

22.19 Если рассматриваемое распределение имеет более одного параметра и проверяется простая гипотеза, то в этом случае также может существовать общая НКО для класса альтернативных гипотез, получающихся при различных значениях

параметров. В следующих двух примерах рассматривается случай двухпараметрического нормального распределения, для которого НКО не существует, и случай двухпараметрического экспоненциального распределения, для которого НКО существует.

Пример 22.8

Рассмотрим нормальное распределение со средним и дисперсией Пусть проверяется гипотеза

а от альтернативной гипотезы требуется лишь отличие от Н. Для любой простой гипотезы

НКО согласно (22.6) определяется неравенством

которое может быть переписано в виде

где х и — выборочные среднее и дисперсия. Если то можно привести это соотношение к еще более простому виду:

где не зависит от наблюдений и

Со случаем мы уже имели дело в примере 22.2, где предполагалось, что

Когда в (22.38) имеет место точное равенство, оно превращается в уравнение гиперсферы с центром в точке с координатами Таким образом, НКО всегда ограничена гиперсферой. При (22.38) дает так что НКО лежит вне сферы, а при из (22.38) находим т. е. НКО лежит внутри сферы.

Поскольку есть функция от то ясно, что в общем случае мы не получим одной и той же НКО для различных гипотез из даже если предположим, что <То и

или наложим другие подобные ограничения. Для иллюстрации воспользуемся графиком на плоскости Так как

то, когда (22.39) постоянно, мы получим на графике круг с центром и фиксированным радиусом, зависящим от а.

На рис. 22.2 (Нейман и Пирсон, 1933b) изображены некоторые кривые, соответствующие различным частным случаям. В каждом случае изображена одна кривая, соответствующая некоторому фиксированному значению константы в (22.37).

Случаи (1) и (2): лежит справа от прямой (1), если и слева от прямой (2), если Этот случай рассмотрен в примере 22.2.

Рис. 22.2. Линии постоянного отношения правдоподобия (см. текст).

Случай (3): пусть, например, Тогда и НКО лежит внутри полукруга (3).

Случай (4): лежит внутри полукруга (4).

Случай (5): и лежит вне полукруга (5).

Очевидно, для этих случаев не имеется общей НКО. Области принятия гипотезы, однако, могут иметь общую часть, расположенную около точки , и этого естественно было ожидать. Найдем огибающую НКО, которая, конечно, совпадает с огибающей областей принятия. Продифференцируем отношение правдоподобия по и приравняем полученные производные нулю. Это даст решения уравнений МП (см. пример 18.11) Подставляя их в отношение правдоподобия, мы найдем уравнение огибающей

или

Пунктирная кривая на рис. 22.2 изображает огибающую. Она касается границ всех НКО, которые отвечают одному и тому же (и, следовательно, имеют разные размеры а). Часть плоскости, заключенная внутри кривой, может рассматриваться как

«хорошая» область принятия гипотезы, а внешняя часть — как хорошая критическая область. В данном случае, не существует НКО для всех альтернатив, однако области, определяемые огибающими областей отношения правдоподобия, дают компромиссное решение, выделяя и объединяя части критических областей, являющиеся наилучшими для отдельных альтернатив.

Пример 22.9

Пусть требуется проверить простую гипотезу против альтернативы в случае распределения

Согласно определяется неравенством

так что для любых значений из Н НКО имеет вид

Когда выполнена гипотеза Но, первое из этих событий имеет вероятность нуль. Следовательно, для всего класса альтернатив существует одна и та же НКО, на которой может быть основан РНМ критерий.

Со случаем сто мы фактически имели дело в примере 22.6.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление