Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Проверка простой гипотезы Н0 против класса альтернатив

22.16 До сих пор мы рассматривали наиболее элементарную задачу, в которой требовалось сделать выбор между двумя полностью определенными конкурирующими гипотезами. В такой задаче имеется очевидная симметрия: какая из гипотез считается «проверяемой» и какая «альтернативной», зависит только от соглашения или от удобства. При переходе к более общей формулировке задачи проверки гипотез симметрия исчезает.

Мы будем рассматривать теперь случай, когда простая гипотеза, а сложная гипотеза, представляющая собой класс простых альтернатив. Наиболее часто встречается случай, когда имеется класс простых параметрических гипотез, одна из которых — гипотеза , а включает все остальные. Например, гипотеза может состоять в том, что среднее значение

некоторого распределения равно а гипотеза в том, что среднее не равно

Для каждой простой гипотезы из можно применить полученные выше результаты и найти для заданного а соответствующую ей Однако, вообще говоря, эти области будут разными для разных Нас, конечно, не устраивает такая ситуация, поэтому возникает вопрос о существовании одной НКО, которая была бы наилучшей для всех из Такая область называется равномерно наиболее мощной (РНМ), а критерий, основанный на этой области, — РНМ критерием.

22.17 К сожалению, как мы увидим в дальнейшем, РНМ критерий обычно не существует, если только класс альтернатив не удовлетворяет определенным ограничениям. Рассмотрим, например, случай, с которым мы имели дело в примере 22.2. Мы нашли, что при для простой альтернативы определяется неравенством

Мы видим, что при области, определяемые соотношением (22.30), не зависят от и могут быть найдены непосредственно из выборочного распределения х, если задан размер критерия а. Следовательно, критерий, основанный на (22.30), будет РНМ критерием для класса гипотез

Из примера 22.2 также следует, что для определяется неравенством Так что если наш класс состоит из значений больших то этот критерий будет РНМ. Однако если может быть как больше, так и меньше то РНМ критерия не существует, так как всегда одна из двух только что найденных РНМ областей будет лучше любой компромиссной области.

22.18 Мы докажем теперь, что для простой гипотезы относящейся к параметру порождающему класс гипотез, в общем случае нельзя найти РНМ критерия, если класс альтернатив является интервалом, содержащим как положительные, так и отрицательные значения При этом предполагаются выполненными некоторые условия регулярности, в частности, производная функции правдоподобия по предполагается непрерывной по 0.

Разложим функцию правдоподобия в ряд Тейлора в окрестности

где некоторое значение из интервала ( Тогда для НКО, если она существует, мы должны иметь согласно (22.6) и (22.31)

Таким образом, НКО определяется соотношениями

Посмотрим теперь, что происходит, когда приближается к Очевидно, тогда тоже будет приближаться к во, и для очень близких к во, неравенства (22.33), (22.34) ввиду непрерывности V по 8 примут вид

Тем самым мы установили, между прочим, что в близкой окрестности во односторонние критерии, основанные на будут РНМ. Это является аналогом результата из теории доверительных интервалов, полученного в 20.17.

Наш основной результат получается теперь немедленно. Если мы рассмотрим интервал альтернатив, включающий положительные и отрицательные значения то (22.35) и (22.36) не смогут выполняться одновременно (и, следовательно, не может существовать НКО), за исключением случая, когда

Условие (22.37) является существенным условием существования двусторонней НКО. Оно не может быть выполнено, если выполнено условие (17.18) (т. е. область определения распределения не зависит от 6), кроме случая, когда константа равна нулю, так как условие вместе с (22.37) дает .

В примере 22.6 мы уже встречались со случаем существования двусторонней НКО. Читателю следует проверить, что в этом примере так что (22.37) выполнено.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление