Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Эффективность оценки и мощность

22.15 Если для проверки гипотезы используется статистика, эффективная в задаче оценивания (см. 17.28-29), то из этого не следует, что мощность полученного критерия будет больше мощности критерия, основанного на менее эффективной оценке. Этот результат принадлежит Сандруму (1954).

Пусть две асимптотически нормально распределенные оценки параметра , и пусть, по крайней мере асимптотически,

Пусть проверяется гипотеза против Ни Точно так же, как в (22.15) в примере 22.3, мы для каждой из статистик получим критическую область

где нормальное отклонение, определяемое соотношениями (22.14) и (22.16). Обобщая равенство (22.18), соответствующее случаю получаем мощности критериев

Поскольку монотонно возрастающая функция своего аргумента, то в соответствии с приводит к более мощному критерию, чем тогда и только тогда, когда

т. е. когда

Если положить то (22.25) примет вид

Величины представляют собой просто степени (обычно квадратные корни) эффективности относительно при выполнении соответственно гипотез Если теперь

то правая часть (22.25) обращается в нуль и (22.26) всегда выполняется. Таким образом, если относительная эффективность оценок одна и та же при обеих гипотезах, то более эффективная статистика всегда приводит к более мощному критерию, независимо от значений а или Однако если

то всегда можно найти такое достаточно малое а, что для критерия этого размера (22.26) не будет выполнено. Следовательно, критерий, основанный на менее эффективной оценке будет иметь большую мощность, если выполнено соотношение (22.28), т. е. если относительная эффективность при гипотезе больше, чем при . Если же то можно найти такое достаточно большое а, чтобы (22.26) было нарушено. Если функция непрерывна по 0, то при так что (22.26) выполняется в некоторой окрестности

Приведенный результат хотя и является довольно частным, все же с достаточной ясностью показывает, что между

эффективностью при оценивании и мощностью нет тесной связи.

В главе 25 мы снова вернемся к этому вопросу в связи с рассмотрением способов измерения эффективности критериев.

Пример 22.7

В примерах 18.3 и 18.6 было показано, что МП-оценка параметра нормированного двумерного нормального распределения является корнем некоторого кубического уравнения и что асимптотическая дисперсия этой оценки равна тогда как выборочный коэффициент корреляции имеет асимптотическую дисперсию Обе опенки состоятельны и асимптотически нормальны, а МП-оценка, кроме того, эффективна. В обозначениях пункта 22.15 имеем

Если проверяется гипотеза против то и (22.26) принимает вид

Если взять, скажем, чтобы было справедливо нормальное приближение, то (22.29) будет неверно при Это соответствует так что для критериев размера, меньшего 0,023, неэффективная оценка дает в нашем случае критерий с большей асимптотической мощностью, чем эффективная оценка Поскольку критерии размера 0,01 и 0,05 используются довольно часто, то этот пример представляет не только теоретический интерес: на практике нельзя предполагать, что «хорошие» оценки являются «хорошими» статистиками критериев.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление