Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

НКО и достаточные статистики

22.14 Если обе сравниваемые гипотезы относятся к значению параметра , для которого имеется достаточная статистика то из факторизации функции правдоподобия, выражаемой формулой (17.18), следует, что (22.6) имеет в этом случае вид

т. е., как этого и следовало ожидать, НКО зависит от значения достаточной статистики Мы уже встречались с таким случаем в примере 22.2. (Такой же результат, очевидно, имеет место, если представляет собой набор параметров, для которого служит достаточной системой статистик.) Упражнение 22.13 показывает, что отношение правдоподобия в левой части (22.10) само является достаточной статистикой, так что НКО есть функция от этой достаточной статистики.

Однако не всегда получается так, что НКО имеет вид или как это было в примере 22.2 (контрпримером служит пример 22.4, в котором единственное наблюдение х является достаточной статистикой для ). Исследование выражения (22.20) показывает, что НКО будет иметь такой простой вид, если является монотонно неубывающей функцией от для Это будет заведомо выполнено, если

что справедливо почти для всех распределений, встречающихся в статистике.

Пример 22.6

В случае распределения

наименьшее выборочное значение достаточно для (см. пример 17.19). Проверяя гипотезу против для выборки из наблюдений, мы получим

откуда следует, что для точек критической области должно быть выполнено неравенство

Поскольку, однако, левая часть (22.22) вообще не зависит от наблюдений и является константой, то (22.22) будет выполнено для любой критической области размера а с Таким образом, все такие критические области имеют одинаковую мощность и будут, следовательно, НКО.

Если допустить, что может быть как больше, так и меньше то мы получим

Таким образом, НКО определяется неравенствами

Первое из этих событий имеет при гипотезе вероятность нуль. Значение выбирается так, чтобы вероятность осуществления второго события при гипотезе была равна а.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление