Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Проверка простой гипотезы Н0 против простой альтернативы Н1

22.10 Если проверяется простая гипотеза против простой альтернативной гипотезы, т. е. делается выбор между двумя полностью определенными распределениями, то задача нахождения НКО не вызывает особых трудностей. Ее решение дается леммой Неймана — Пирсона которую мы сейчас докажем.

Как и в предыдущих главах, будет обозначать функцию правдоподобия при гипотезе и будет использоваться только один знак интеграла для обозначения n-кратного интегрирования по выборочному пространству. Задача состоит в выборе критической области , максимизирующей выражение (22.2), которое в интегральной записи имеет вид

при условии (22.1), которое мы запишем теперь в виде

Эта критическая область, очевидно, должна включать все точки х, для которых так как эти точки не дают никакого вклада в интеграл (22.4). Для остальных точек области до можно переписать (22.3) в виде

Таким образом, надо выбрать до так, чтобы максимизировать математическое ожидание отношения вычисленное в предположении, что справедлива гипотеза Ясно, что это будет выполнено тогда и только тогда, когда до, удовлетворяя условию (22.4), содержит точки, для которых отношение принимает наибольшие значения. Таким образом, НКО состоит из тех точек пространства Для которых

Каждой константе в (22.6) соответствует размер а, определяемый (22.4). Если иксы распределены непрерывно, то мы можем также найти для каждого а соответствующее

22.11 Если распределение иксов не непрерывно, то можно использовать прием рандомизации (см. 20.22). В этом случае

с некоторой ненулевой вероятностью общем случае из-за дискретности можно выбрать в (22.6) лишь такое которому соответствует размер критерия Чтобы получить критерий, размер которого точно равен а, надо поступить следующим образом. Всякий раз, когда выполняется (22.7), используется случайное устройство (например, таблица случайных чисел) с тем, чтобы с вероятностью гипотеза отвергалась и с вероятностью принималась. Полная вероятность отвергнуть Но будет тогда равна как это и требовалось. В этом случае, очевидно, НКО не единственна, поскольку она подвержена случайным выборочным флуктуациям

Пример 22.2

Вернемся снова к нормальному распределению примера 22.1

и будем проверять гипотезу против альтернативы

Имеем

где выборочные среднее и дисперсия. Следовательно, соотношение (22.6), определяющее НКО, записывается в виде

или

Таким образом, при заданных и а НКО определяется только значением выборочного среднего х. Этого следовало ожидать, принимая во внимание тот факт (см. примеры 17.6, 17.15), что х является достаточной статистикой для соответствующей минимальной границе дисперсии. Далее, из (22.11) следует, что если то НКО имеет вид

тогда как при мы получаем

что вполне согласуется с интуицией: проверяя гипотетическое значение против меньшего значения мы отвергаем если выборочное среднее оказывается меньше некоторого значения, зависящего от размера критерия а; проверяя против большего значения мы отвергаем если выборочное среднее превосходит некоторое определенное значение.

22.12 Следует отметить, что в примере 22.2 для определения НКО требуется знание только одной статистики, а не всей совокупности наблюдений. Это характерно для многих задач. Такое упрощение позволит нам вести изложение целиком в. терминах выборочного распределения такой статистики (называемой «статистикой критерия») и избежать осложнений, связанных с рассмотрением -мерных распределений.

Пример 22.3

Известно (см. пример 11.12), что в примере 22.2 при любом значении выборочное среднее х само распределено нормально со средним, и дисперсией Таким образом, чтобы получить критерий размера а для проверки против мы должны найти такое чтобы выполнялось равенство

Обозначая

получаем для

где

Например, для из таблицы нормального интеграла находим

так что согласно (22.15)

В этом простом примере мощность критерия может быть выписана в явном виде. Она равна

Используя (22.15), можно представить этот интеграл в виде

поскольку в силу симметрии. Из (22.18) видно, что мощность является монотонно возрастающей функцией как по (объем выборки), так и по (разность гипотетических значений, между которыми делается выбор).

Пример 22.4

Для противопоставления рассмотрим распределение Коши

и предположим, что мы хотим проверить гипотезу против альтернативы Для простоты ограничимся случаем Согласно (22.6) НКО определяется соотношением

которое эквивалентно соотношению

Вид НКО зависит, таким образом, от выбранного значения а. Если, например, то (22.19) сводится к неравенству мы должны отвергнуть в пользу каждый раз, когда наблюденная величина ближе к 1, чем к 0. Если, с другой стороны, взять то (22.19) принимает вид

Последнее неравенство выполнено, когда Это и есть критическая область.

Поскольку распределение Коши есть распределение Стьюдента с одной степенью свободы и, следовательно, то можно вычислить размер каждого из двух приведенных выше критериев.

Для размер равен тогда как для получаем

Использованная таблица может быть применена также для нахождения мощности рассмотренных критериев. Это предлагается проделать читателю в упражнении 22.4 в конце этой главы.

22.13 Приведенные нами примеры использования леммы Неймана — Пирсона касались проверки гипотезы о значении параметра некоторого распределения заданного вида. Однако, как можно видеть из доказательства в 22.10-11, (22.6) дает НКО для любой задачи проверки простой гипотезы против простой альтернативы. Например, можно проверить гипотезу о виде распределения, параметр расположения которого известен, как это делается в следующем примере.

Пример 22.5

Пусть известно, что среднее значение распределения равно нулю и нас интересует вид этого распределения. Предположим, что мы хотим выбрать одну из альтернатив

Для простоты мы опять будем считать объем выборки равным 1.

Согласно определяется соотношением

Таким образом, мы отвергаем , если

НКО состоит, следовательно, из больших по абсолютной величине значений наблюдения, дополненных, если (т. е. значениями из окрестности Читатель может легко убедиться в этом, построив график.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление