Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Мощность критерия

22.8 Рассуждения пункта 22.7 приводят нас к выводу, что суждение о качестве критической области (или, что то же самое, критерия) должно основываться на свойствах, которыми она обладает как в случае выполнения проверяемой гипотезы, так и в случае ее невыполнения. Из этого следует, что ошибки, возникающие при проверке статистической гипотезы, могут быть двух типов:

(I) можно ошибочно отвергнуть гипотезу, когда она верна; (II) можно ее ошибочно принять, когда она неверна. Эти ошибки называются соответственно ошибками первого и второго рода. Вероятность ошибки первого рода равна размеру используемой критической области. Вероятность ошибки второго рода, обозначаемая обычно зависит, конечно, от рассматриваемой альтернативной гипотезы Таким образом,

или

Вероятность называется мощностью критерия для проверки гипотезы против альтернативной гипотезы Указание гипотезы в последней фразе существенно, так как мощность зависит от

Пример 22.1

Рассмотрим задачу проверки гипотезы о среднем значении нормального распределения с единичной дисперсией. Говоря точнее, требуется проверить гипотезу

в случае распределения

Это простая гипотеза, так как она определяет полностью. В качестве альтернативы мы возьмем также простую гипотезу

Таким образом, задача заключается в том, чтобы выбрать в качестве среднего значения либо меньшее из двух заданных значений либо большее

В случае выборки объема ситуацию можно представить графически. На рис. 22.1 показаны возможные совокупности выборочных точек при большом числе повторений. Нижнее скопление соответствует выполнению гипотезы а "Верхнее —

В рассматриваемом случае, конечно, выборочные распределения непрерывны, однако расположение точек дает представление о том, как выборочные плотности сгущаются около истинных средних.

Рис. 22.1. Критические области для (см. текст).

Чтобы выбрать критическую область, мы должны в соответствии с (22.1) найти область на плоскости, содержащую долю а распределения Одна "из таких областей представлена частью плоскости, лежащей выше прямой которая перпендикулярна к прямой соединяющей гипотетические средние. (А изображает точку а -точку Другой возможной критической областью размера а будет область

Из круговой симметрии скоплений сразу видно, что первая из критических областей содержит гораздо большую часть скопления чем область Поэтому при гипотезе доля случаев, когда отвергается для первой области больше, чем для второй. Следовательно, значение для первой критической области, т. е. ее мощность, будет больше.

22.9 Пример 22.1 указывает нам очевидный критерий для выбора критической области среди всех областей, удовлетворяющих (22.1). Надо взять такую критическую область которая имела бы максимальную мощность (22.2). В этом случае при заданной вероятности ошибки первого рода а мы будем иметь минимальную вероятность ошибки второго рода Эта фундаментальная идея, впервые в явном виде сформулированная Дж. Нейманом и Э. Пирсоном, лежит в основе теории этой и следующих глав.

Критическая область, мощность которой не меньше мощности любой другой области того же размера, предназначенной

для проверки гипотезы против альтернативной гипотезы Ни называется наилучшей критической областью (сокращенно: а критерий, основанный на НКО, называется наиболее мощным (сокращенно: критерием.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление