Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Парадоксы и ограничения фидуциальной теории

21.39 Если совместно достаточны для то можно написать альтернативные факторизации

Если каждая из статистик зависит только от одного из параметров, то никаких трудностей не возникает, поскольку каждая из них является одномерной достаточной статистикой для своего параметра.

В более общем случае мы можем различать две специальные структуры достаточных статистик.

(а) Одна из статистик зависит только от одного параметра. Тогда факторизация принимает вид

либо (21.95)

(б) Одно из условных рспределений зависит только от одного параметра. Имеем

либо

Если выполняется первое из соотношений (21.96), то является одномерной достаточной статистикой для при известном если же имеет место второе соотношение, то есть одномерная достаточная статистика для когда известно

Любая строка в соотношениях (21.95) или (21.96) позволяет строить совместное фидуциальное распределение следующим образом. Вначале находим фидуциальное распределение одного параметра из множителя, в который входит только этот параметр, и затем получаем условное фидуциальное распределение другого параметра (при фиксированном значении первого) из множителя, содержащего оба параметра. Произведение этих распределений принимается за совместное фидуциальное распределение, по аналогии с теоремой об умножении вероятностей. Именно так Фишер (1956) и Кэнуй (1958) использовали соотношения (21.95) и (21.96) соответственно.

Мы видели, что в 21.10 и 21.26 соотношения (21.95) и (21.96) выполнялись. Это было возможно потому, что выборочное среднее (или разность средних) не зависело от выборочной дисперсии (или дисперсий) В общем случае, однако, даже эти специальные структуры достаточных статистик недостаточны для того, чтобы гарантировать единственность совместного фидуциального распределения, как это показали контрпримерами Тьюки (1957) и Бриллинджер (1962). Неединственность возникает в точности тогда, когда имеют место одновременно оба соотношения в (21,95) (или в (21.96)), и, следовательно, совместное фидуциальное распределение зависит от того, какое из них мы используем для его построения. См. также Молдон (1955) и Демпстер (1963).

В 23.37-39 мы увидим, что при определенных условиях каждая из структур достаточности (21.95), (21.96) обеспечивает оптимальные свойства для условных критериев.

Фрэзер (1961а, обсуждал связь между фидуциальными выводами и некоторыми свойствами инвариантности. См. также Хора и Бюлер (1966).

21.40 Линдли (1958а) получил простой, но имеющий большие последствия результат, который не только проливает свет на связь между фидуциальным и байесовским подходами, но и ограничивает претензии фидуциальной теории на то, что она дает общий метод, не противоречащий байесовскому и сочетающийся с ним. В действительности, как показал Линдли, фидуциальный подход не противоречит байесовским методам тогда и только тогда, когда он применяется к случайной величине х и параметру которые могут быть (порознь) преобразованы в соответственно, так что является параметром расположения для и. В этом случае фидуциальный подход эквивалентен байесовскому с равномерным априорным распределением параметра Приведенная критика относится в равной мере и к «доверительным распределениям», определенным выше, в конце 20.6, поскольку они совпадают с фидуциальными распределениями.

21.41 Используя равенство (21.5), запишем фидуциальное распределение параметра в виде (не путать с обозначением характеристической функции)

в то время как апостериорное распределение величины 0, при заданном априорном распределении по теореме Байеса есть

где функция плотности. Обозначим знаменатель в правой части (21.98). Тогда

Если имеется некоторое априорное распределение для которого фидуциальное распределение эквивалентно байесовскому апостериорному распределению, то (21.97) и (21.99) будут равны, т. е.

Выражение (21.100) показывает, что отношение в его левой части должно быть произведением функции от на функцию от х. Перепишем это так:

При заданных определим F из уравнения (21.101). Единственное решение, отличное от постоянной, имеет вид

где произвольная функция, являются соответственно интегралами от относительно их аргументов. Если обозначим то (21.102) преобразуется к виду

так что является параметром расположения для и. Обратно, если выполняется соотношение (21.103), то выполнено (21.100) с вместо х и и с равномерным распределением Таким образом, (21.103) есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы имело место равенство (21.100), т. е. для того, чтобы фидуциальное распределение было эквивалентно некоторому байесовскому апостериорному распределению.

21.42 Рассмотрим теперь случай, когда имеются две независимые выборки, информация о которых заключена в достаточных статистиках х и у, на основе которых нужно сделать вывод о параметре Для этого существует два пути:

(а) мы можем рассмотреть обе выборки одновременно и получить фидуциальное распределение ;

(б) можно получить фидуциальное распределение из первой выборки и, используя его как априорное распределение при байесовском подходе, на основе второй выборки найти апостериорное распределение

Если фидуциальный подход не противоречит байесовскому, то (а) и (б) логически эквивалентны, и мы должны получить

Возьмем простейший случай, когда х и у одинаково распределены. Поскольку их распределение допускает одномерную достаточную статистику для 6, то исходная функция плотности имеет вид (17.83). Поэтому можно считать (см. упражнение 17.14), что распределение величины х само пред ставимо в виде

и аналогично для у во второй выборке. Более того, в объединенной выборке величина является, очевидно, достаточной статистикой для 0, и тогда комбинированное фидуциальное распределение есть функция только от . Найдем теперь условия, при которых также будет функцией только от и 0. По теореме Байеса

и если есть функция только от и 0, то тем же свойством обладает и отношение при двух различных значениях параметра

Таким образом, соотношение (21.105) должно быть инвариантным относительно перестановки х и у. Следовательно, подставляя (21.104) в (21.105), получаем

так что

или

Если считать постоянными, то (21.106) можно переписать в виде

где произвольные функции. Из (21.97), (21.104) и (21.107) имеем

Но (21.108) совпадает в точности с соотношением (21.100), для которого (21.103) является необходимым и достаточным условием. Таким образом, возможно тогда и только тогда, когда х и можно преобразовать в (21.103), причем будет параметром расположения для и, а равномерным распределением. Итак, фидуциальный подход совпадает с байесовским тогда и только тогда, когда задачу можно свести к задаче о параметре расположения с равномерным априорным распределением. Пример, где это не так, дан в упражнении 21.11.

Линдли показал также, что в экспоненциальном семействе распределений (17.83) только нормальное и гамма-распределение удовлетворяют условию о возможности преобразования к виду (21.103): этим объясняется идентичность результатов, полученных фидуциальным и байесовским методами для указанных случаев (см. пример 21.3). Спротт (1960, 1961) показал, что этот результат остается в силе, когда х и у неодинаково распределены.

Уэлч и Пирс (1963), Уэлч (1965) и Пирс (1965) изучали соответствие между байесовскими и доверительными интервалами, главным образом для асимптотических решений. Тэтчер (1964) рассмотрел это соответствие для биномиальных прогнозов. Гейссер и Корнфилд (1963) и Фрэзер (1964) указали на дальнейшие трудности с фидуциальными распределениями в многомерном случае. Смотри также Работы Симпозиума Международного статистического института, упоминавшиеся в конце 21.38.

Фрэзер (1962) предложил модификацию фидуциального метода, которая расширяет область его непротиворечивости с байесовскими методами.

21.43 Имеется еще одно возражение против фидуциальной теории, которое уже упоминалось в связи с байесовским подходом: она отказывается от строго частотного подхода в задаче интервального оценивания. На самом деле возможно, как показал Барнард (1950), обосновать решение Фишера — Беренса задачи о двух средних с некоторой иной частотной точки зрения, но, как он сам утверждает далее, идея фиксированного пространства элементарных исходов, в терминах которого интерпретируются частоты, чужда фидуциальному подходу. Таким образом, статистику предоставляется выбор между

доверительными интервалами, дающими точные интерпретируемые в частотах утверждения, которые в исключительных случаях могут оказаться тривиальными, и другими методами, отказывающимися от частотной интерпретации в пользу выводов, которые представляются, возможно интуитивно, более относящимися к Делу.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление