Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Обсуждение

21.31 Было так много полемики вокруг различных методов оценивания, описанных выше, что в этом месте мы оставляем обычную объективную точку зрения и сами вступаем в дискуссию. В оставшейся части этой главы будут изложены личные взгляды авторов. Мы думаем, что наша точка зрения правильна; она представляет собой результат многолетнего размышления над запутанным спорным вопросом и является серьезной попыткой понять, что говорят сторонники этих методов, и даже более серьезной попыткой догадаться, что они имеют в виду. Заслужит ли это их одобрение - мы не знаем.

21.32 Нам предстоит, таким образом, рассмотреть три подхода: доверительные, фидуциальные и байесовские интервалы,

Нас не должно вводить в заблуждение сходство результатов, получаемых в простых случаях различыми методами, хотя в этом и состоит некоторое утешение. Однако мы будем придерживаться тезиса, что там, где они не совпадают, основная причина различия не в том, что тот или другой подход неверен, а в том, что они, сознательно или несознательно, либо отвечают на различные вопросы, либо основываются на разных постулатах.

21.33 Для простоты начнем с подхода Байеса — Джеффрейса. Если допустить, что вероятность является мерой доверия или некоторым неопределяемым понятием, подчиняющимся обычным постулатам, то теорема Байеса не вызывает возражений. Однако необходимо признать, что, оставляя попытку основывать теорию вероятностей на частотах событий, мы несколько теряем в объективности.

Вторая трудность состоит в принятии правил, касающихся априорных распределений вероятностей. Джеффрейс очень убедительно отстаивал правила, приведенные выше, и ничего лучшего предложено не было. Тем не менее кажется несколько произвольным, например, требование, чтобы априорное распределение параметра, изменяющегося от до было а для параметра, лежащего в интервале от до пропорционально Остается впечатление, что изощренные рассуждения относительно этого различия не затрагивают корня проблемы.

21.34 Заметим гакже, что мы использовали байесовский подход в случаях, где существуют достаточные статистики. Но это несущественно. Если функция правдоподобия, то всегда можно записать

и, зная определить апостериорное распределение параметра С этой точки зрения единственное преимущество малого числа достаточных статистик состоит в том, что они суммируют всю необходимую информацию, содержащуюся в функции правдоподобия, в статистики, количество которых меньше, чем выборочных значений. Как было замечено ранее, сами выборочные значения всегда образуют множество достаточных статистик, хотя на деле это может быть всего лишь утешительная тавтология.

21.35 Доверительно-интервальная теория также является общей в том смысле, что существование единственной достаточной статистики для неизвестного параметра есть удобство, а не необходимость. Однако было уже замечено, что там, где не существует одномерной достаточной статистики, могут возникнуть мнимые или в каком-нибудь другом смысле бессодержательные

интервалы. В то же время мы не знаем случаев, когда эти трудности возникали бы при наличии одномерной достаточной статистики, так что доверительно-интервальная теория, возможно, не так свободна от потребности в достаточности, как это может показаться; но может быть лучше было бы сказать, что там, где не удается получить вложенных и просто связанных между собой интервалов, имеются специальные трудности интерпретации.

Принципиальный довод в пользу доверительных интервалов, однако, состоит в том, что они могут быть выведены в терминах частотной теории вероятностей без каких-либо предположений, касающихся априорного распределения, которые так существенны для байесовского подхода. Это, на наш взгляд, неоспоримо. Но справедливо будет спросить, достигают ли они указанной экономии основных предположений без потери чего-либо, свойственного байесовской теории. Наше мнение таково, что кое-что действительно иногда теряется и это кое-что может быть важным для задач оценивания.

21.36 Рассмотрим пример, где оценивается среднее нормальной совокупности при известной дисперсии. Пусть нам известно, что лежит между и 1. Согласно постулату Байеса имеем

и задача определения границ для допускает решение, хотя и остались математические трудности. Что в этом случае способна дать доверительно-интервальная теория? Она может лишь повторить утверждения вида

Они по-прежнему справедливы в требуемой части случаев, но эти утверждения не учитывают наших априорных знаний об интервале изменения и иногда оказываются бесполезными. К примеру, возможно, верное утверждение будет абсурдным, если мы уже знаем, что Конечно, полученный интервал можно урезать в соответствии с априорными данными. В приведенном примере остается только утверждать, что 1, и наблюдения ничего не прибавляют к нашим знаниям.

В действительности, как нам кажется, доверительно-интервальная теория имеет дефект в ее главном достоинстве: она достигает общности ценой того, что оказывается неспособной

включать априорные знания в свои утверждения. Когда мы делаем окончательный вывод то должны синтезировать информацию, полученную из наблюдений, с нашими априорными сведениями. Теорема Байеса имеет целью достичь указанного синтеза с самого начала. Доверительная теория оставляет это на самый конец (а ее наиболее распространенные изложения игнорируют этот момент полностью).

21.37 Фидуциальная теория, как мы уже заметили, была предложена Фишером для случая, когда имеются достаточные статистики, или, в общем виде, когда может быть использована вся информация, входящая в функцию правдоподобия. Никакого систематического изложения процедур, которым нужно следовать в задачах, где доступна априорная информация, не давалось. Но, по-видимому, нет причин, чтобы нельзя было использовать метод, подобный тому, что проиллюстрирован уравнением (21.94). Иначе говоря, если мы получили фидуциальное распределение сосредоточенное на произвольном интервале, и имеется дополнительная информация о том, что параметр лежит в интервале от до (внутри исходного интервала), то с помощью усечения мы модифицируем фидуциальное распределение к виду

21.38 Одну из критикуемых трудностей фидуциальной теории иллюстрирует вывод распределения Стьюдента в фидуциальной форме, приведенный в 21.10. Нам кажется, что этот вопрос был неверно понят всеми, кроме Джеффрейса. Поскольку распределение Стьюдента дает одинаковый результат как для фидуциальной, так и для доверительной теорий, тогда как различаются эти два подхода в задаче о двух средних, то обе стороны, кажется, искали свои основные различия во второй задаче, а не в первой. На наш же взгляд, cest le premier test qui cotite. Если припять ход рассуждений, применяемый в первой задаче, то более общий результат Фишера — Беренса получается очень простым обобщением. Это также понятно из подхода Байеса — Джеффрейса, при котором соотношение (21.92) является очевидным обобщением (21.90) на случай двух независимых выборок.

Как отмечалось в 21.10, вопрос состоит в следующем. Можем ли мы в совместном распределении величин х и 5 (которые независимы в обычном смысле) заменить на Нам кажется, что последнее не очевидно и что для этого на самом

деле, точно так же как и для соотношения (21.90), требуется новый постулат. Этот вопрос был отчетливо поставлен в работе Иэйтса (1939а). Глубокое общее обсуждение фидуциальной теории дано Демпстером (1964) и в работах Симпозиума, опубликованных в Бюллетене Международного статистического института (1964, 40(2), стр. 833—939).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление