Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Байесовские интервалы

21.28 Перейдем теперь к рассмотрению связи между фидуциальной теорией и интервальным оцениванием, основанным на теореме Байеса, следуя Джеффрейсу (1948). Эта теорема утверждает, что вероятность события при данных и пропорциональна произведению вероятности события при заданном на вероятность события при фиксированных и Или символически:

При байесовском подходе мы берем в качестве значение оцениваемого параметра а в качестве его априорное распределение вероятностей. Тогда будет апостериорным распределением вероятностей параметра и мы можем использовать его для установления границ, внутри которых лежит с заданной в этом смысле вероятностью.

Основной проблемой, как уже отмечалось ранее, является выбор априорного распределения Для того чтобы учесть различные ситуации, Джеффрейс расширил постулат Байеса (который устанавливает, что если ничего не известно о параметре и он изменяется в конечном интервале, то априорное распределение следует взять пропорциональным В частности, (1) если интервал изменения бесконечен в обе стороны, то априорное распределение берется по-прежнему пропорциональным если изменяется от до то априорное распределение принимается пропорциональным

Пример 21.3

В случае нормального распределения, рассмотренного в 21.2, статистика х достаточна для и мы имеем

Если лежит в интервале то в качестве априорного распределения берем

Следовательно, для апостериорного распределения параметра получаем

Интегрируя по от до легко показать, что пропорциональность есть на самом деле равенство. Таким образом, мы можем при любом заданном уровне вероятности определить интервал для Он получается тем же самым, что и в доверительно-интервальной или фидуциальной теориях.

С другой стороны, для распределения (21.6) из примера 21.2 возьмем априорное распределение параметра лежащего в интервале в виде

Здесь будет видно существенное сходство с фидуциальной процедурой примера 21.2. Имеем, как и там,

Вычисление константы из условия, чтобы интеграл от до равнялся единице, дает

что совпадает с распределением, полученным при доверительно-интервальном и фидуциальном подходах.

21.29 Рассмотрим теперь задачу нахождения границ для среднего в нормальных выборках, когда дисперсия неизвестна. Для распределения Стьюдента имеем

где некоторая постоянная, Параметры и о не входят в правую часть, и, следовательно, они несущественны для и могут быть опущены. Таким образом,

Пусть теперь мы принимаем, что

Как и выше, могут быть опущены; поэтому

Сравнивая последнее соотношение с (21.88), получаем

Теперь обычным путем можно найти границы для при заданных Джеффрейс, однако, подчеркивает, что этот результат опирается на новый постулат, выражаемый равенством

(21.89), который хотя и является естественным, вовсе не тривиален. Этот постулат равносилен следующему предположению: если мы сравниваем различные распределения, выборки из которых дают разные значения то масштаб распределения параметра должен быть взят пропорциональным а его среднее заменено разностью выборочных средних.

21.30 Аналогичным образом мы найдем, что для того, чтобы прийти к распределению Фишера — Беренса, необходимо постулировать, что

Вывод Джеффрейса распределения Фишера — Беренса из теоремы Байеса проходил бы следующим образом. Априорное распределение есть

функция правдоподобия (наблюдения обозначены через ) имеет вид

Следовательно, по геореме Байеса

Интегрируя находим для параметров апостериорное распределение, которое легко привести к виду (21.75).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление