Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приближенное нахождение доверительных интервалов

21.23 Уэлч (1938) исследовал приближенное распределение статистики (21.18), имеющей распределение Стьюдента при в случае . В этом случае дисперсия числителя равна

и, полагая

выражение (21.18) можно переписать в виде

Трудность состоит в том, что, хотя и распределена независимо от и, она не является кратной при Однако, приравнивая ее первые два момента моментам -величини, мы можем определить число степеней свободы при котором она.

имеет приближенно -распределение. Согласно (21.57) ее среднее и дисперсия равны

где обозначено

Приравнивая (21.59) к моментам случайной величины умноженной на постоянную

находим

При этих значениях распределена приближенно как следовательно, согласно (21.57) величина

имеет распределение Стьюдента с Если то как и должно быть, (21.63) сводится к (21.18). Но в общем случае зависят от 0.

21.24 Уэлч (1938) исследовал величину ошибки, к которой приводит предположение о том, что в соотношении (когда в действительности параметр принимает другие значения). Хотя его результаты сформулированы в терминах проверки гипотез, а не в терминах интервальных оценок, о которых у нас идет речь, мы их кратко упомянем. Он нашел, что при нет большого вреда от незнания истинного значения параметра но если то могут возникнуть серьезные ошибки. Чтобы преодолеть эти трудности, он использовал в точности технику из 21.23 для аппроксимации распределения статистики Для этого случая им найдено, что, каковы бы ни были значения статистика z имеет приближенно распределение Стьюдента с

степенями свободы и что в этом случае влияние неверного предположения о параметре значительно меньше. Этого естественно было ожидать, поскольку знаменатель величины z в (21.21)

содержит отдельные оценки дисперсий тогда как в (21.58) входит совместная оценка которая менее пригодна, когда

Лотон (1965) обобщил работу Я. Гаека, получив близкие верхние границы для размера и мощности симметричного двустороннего критерия, основанного на

Когда или 0, то или соответственно. Микки и Браун (1966) показали, что распределение статистики z ограничено распределениями Стьюдента с

21.25 Уэлч (1947) усовершенствовал аппроксимативный подход предыдущего пункта. Его общие рассуждения в применении к нашей задаче можно вкратце изложить следующим образом. Определяя с делителями соответственно (чтобы это были несмещенные оценки дисперсий), мы ищем статистику такую, что

каково бы ни было значение параметра . Теперь из того, что величина б) распределена нормально со средним нуль и дисперсией и не зависит от вытекает соотношение

Таким образом, из (21.65) и (21.66) получаем

Теперь можно разложить как функцию от в ряд Тейлора в окрестности истинных значений Мы запишем это символически как

где , а оператор обозначает дифференцирование по в точке Подставляя (21.68) в (21.67), имеем

Далее, поскольку

то, интегрируя в каждом из сомножителей выражения (21.69), находим

что при подстановке в (21.69) дает

Для любого заданного мы можем решить уравнение (21.70) и получить вид функции т. е. найти

Уэлч приводит разложение в ряд, которое в нашем специальном случае имеет вид

где определяется из уравнения

Согласно поэтому соотношение (21.71) дает функцию распределения величины

Следуя работам Уэлча, Аспин (1948, 1949) и Трикетт и др. (1956) составили таблицы для (21.71) как функции от при и 0,995. Эти таблицы позволяют строить центральные доверительные границы для при и 0,99. Некоторые из этих таблиц воспроизведены в таблице 11 Biometrika Tables.

Асимптотические выражения типа (21.71) были обоснованы Черновым (1949) и Уоллесом (1958). Разложение (21.71) является асимптотическим в том смысле, что каждый последующий член в правой части имеет более высокий порядок малости по чем предыдущий.

Вальд (1955) значительно уточнил приближение Уэлча в случае

Пресс (1966) показал, что для интервалы Уэлча имеют меньшую среднюю длину, чем (21.53), если мало (т. е. когда (21.51) отбрасывает информацию о

более изменчивой популяции), но это неверно при больших 0. Эти два множества интервалов асимптотически эквивалентны, и их средние длины никогда не отличаются более чем на 10% при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление