Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача о двух средних

21.11 Мы теперь переходим к задаче нахождения интервальной оценки для разности между средними двух нормальных совокупностей. Эту задачу мы оставили без рассмотрения в предыдущей главе для того, чтобы иметь возможность дать здесь единое изложение. Мы обсудим сначала различные подходы к задаче с позиций доверительных интервалов и затем перейдем к ее решению с помощью фидуциальных интервалов. В заключение рассмотрим задачу с точки зрения теоремы Байеса.

21.12 Предположим, что у нас есть два нормальных распределения с параметрами соответственно из которых извлечены выборки объемов соответственно, и выборочные средние и дисперсии равны Без потери общности предположим, что

В случае, когда задача нахождения интервала для проста. В этом случае величина имеет нормальное распределение с

и каждая из величин имеет -распределение с степенями свободы соответственно. Поскольку две выборки независимы, величина будет распределена как степенями свободы, и, полагая

имеем

Теперь статистика

есть отношение нормированной нормальной величины к корню квадратному из несмещенной оценки для дисперсии. При этом знаменатель не зависит от числителя (так как не зависят от Кроме того, величина распределена как с степенями свободы

Таким образом, у имеет такой же вид, как и отношение (при одной выборке)

которое нам уже встречалось несколько раз (см. пример 11.8) и которое имеет распределение Стьюдента с Следовательно, статистика (21.18) имеет также распределение Стьюдента, но с Этот результат можно было доказать и непосредственно.

В этом случае построение доверительных или фидуциальных интервалов не вызывает затруднений: мы просто используем метод из 20.31 или из 21.10; конечно, как и в случае одной выборки, получатся одинаковые результаты.

21.13 Трудности возникают, когда мы переходим к случаю Случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с (аналогичная (21.17)), теперь имеет вид

Числитель в (21.19) есть нормированная нормальная величина, а знаменатель является корнем квадратным из независимой от числителя случайной величины, имеющей распределение деленной на число степеней свободы (как и в (21.17)). Сложность состоит в том, что в (21.19) входит неизвестное отношение дисперсий Если положить то (21.19) можно переписать так:

что ясно указывает на зависимость от неизвестного параметра . Конечно, при переходит в (21.18).

21.14 Рассмотрим теперь методы, с помощью которых можно устранить «мешающий параметр» из интервальных утверждений, касающихся Мы должны, естественно, найти некоторую статистику, отличную от в (21.20). Одна возможность

напрашивается сама собой при рассмотрении второй записи, (21.18), для выражения (21.17) при Статистика

является, подобно (21.18), отношением нормальной величины с нулевым средним к корню квадратному из независимой от нее несмещенной оценки дисперсии числителя. Однако эта оценка имеет не -распределение и, следовательно, z не есть величина Стьюдента. Как мы увидим ниже, на статистике z основан фидуциальный подход к этой задаче и один подход, дающий приближенный доверительный интервал.

Другая возможность состоит в исследовании распределения самой статистики (21.18) с тем, чтобы увидеть, до какой степени статистика, пригодная для случая сохраняет свои свойства при Это исследование было также проведено с точки зрения доверительных интервалов.

Однако прежде чем перейти к обсуждению подходов, намеченных в этом пункте, мы подробно рассмотрим точное доверительно-интервальное решение задачи, основанное на распределении Стьюдента и его свойствах. Эти результаты принадлежат Шеффе (1943а, 1944).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление