Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Толерантные интервалы

20.37 В этой главе мы занимались вопросом нахождения доверительных интервалов для параметров, участвующих явно в задании распределения. Но техника доверительных интервалов может быть использована и для других задач. В следующих главах мы увидим, что можно находить интервалы для квантилей исходных распределений (см. упражнение 20.17), а также для самих функций распределения без каких-либо предположений о типе распределения, только в предположении непрерывности. Имеется и другой класс задач, часто встречающихся в практике, которые можно решить этими методами. Пусть на основе независимых наблюдений из некоторого распределения мы хотим найти две границы о которых можно утверждать, что доля распределения, содержащаяся между ними, не меньше чем у. Понятно, что такие утверждения нужно делать в вероятностной форме, а именно, с заданной вероятностью доля распределения, не меньшая у, лежит между Величины называются толерантными границами для распределения; мы их будем называть -толерантными границами. Интервал является толерантным интервалом. В главе 32 мы увидим, что толерантные границы можно строить без предположений (кроме непрерывности) о виде исходного распределения. В настоящей главе, однако, мы рассмотрим вывод толерантных границ для нормального распределения, принадлежащий Вальду и Волфовицу (1946).

20.38 Так как выборочные среднее и дисперсия образуют пару достаточных статистик для параметров нормального распределения (упражнение 17.17), то естественно на их основе искать толерантные границы для исходного распределения. По выборке объема построим несмещенные оценки

и положим

где плотность нормального распределения. Требуется найти величину X, для которой

Тогда образуют пару центральных -толерантных границ для исходного распределения. Так как нас интересует лишь доля распределения, покрываемая

интервалом то без потери общности можно считать, что истинное среднее равно 0, а дисперсия 1. Тогда

20.39 Рассмотрим условную вероятность того, что превзойдет у, при заданном х. Обозначим ее Функция А монотонно возрастает по и уравнение

имеет в точности один корень, который обозначим Пусть

При заданных х и у величину можно сразу найти по таблицам нормального распределения, гак как

Из соотношения (20.80) видно, что не зависит от k. Кроме того, поскольку А монотонно возрастает относительно то неравенство эквивалентно неравенству

Таким образом, можно написать

Так как независимы, то (20.81) переходит в соотношение

Поскольку величина имеет -распределение степенями свободы, то окончательно имеем

Используя таблицы -распределения, мы можем определить вероятность в соотношении (20.83).

20.40 Для того чтобы из (20.83) получить безусловную вероятность мы должны это соотношение проинтегрировать по распределению х, которое нормально со средним нуль и дисперсией Интегрирование является утомительной вычислительной операцией, но, к счастью, существует красивый приближенный метод. Разложим функцию в ряд

Тейлора в окрестности точки и поскольку она является четной по х функцией, то нечетные степени в разложении будут отсутствовать. Получим

Беря математическое ожидание, имеем

Но из (20.84) при находим

Соотношения (20.85) и (20.86) дают

и мы можем использовать (20.87) для нахождения приближенного значения величины X в (20.83). Вальд и Волфовиц (1946) показали (см. также Эллисон (1964)), что это приближение очень хорошее даже для таких малых значений как если только каковыми они обычно бывают на практике. Боукер (1947) приводит таблицы значений К (у него для (у него и ) него и 0,999, для объемов выборок

Легко видеть, что приведенные рассуждения остаются справедливыми, если х заменить любой оценкой для среднего, любой независимой оценкой для дисперсии нормальной совокупности (см. Уоллис (1951)). Для случая, когда среднее оценено по наблюдениям, а оценка дисперсии имеет степеней свободы, у Тагути (1958) приведены таблицы значений X (у него ) при (у него ) и (у него ). Малые дробные значения полезны для некоторых приложений, которые можно найти у Тагути. Вайсберг и Битти (1960) приводят таблицы для .

при оси .

Фрэзер и Гаттмэн (1956) и Гаттмэн (1-957) рассмотрели толерантные интервалы, которые покрывают в среднем заданную часть исходного нормального распределения.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление