Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Совместные доверительные интервалы для нескольких параметров

20.35 Довольно часто возникают задачи, где нужно оценить более чем один параметр, например среднее и дисперсию. Обобщение теории доверительных интервалов для одного параметра на случай двух или большего числа параметров наталкивается на существенные трудности. Пусть, скажем, даны два параметра и две статистики Хотелось бы получить совместное интервальное утверждение типа

К сожалению, это редко удается. Иногда можно сделать утверждение, определяющее доверительную область одновременно для двух параметров, как, например,

Но это не вполне удовлетворительно, так как мы не знаем, так сказать, какая доля неопределенности этой области связана с каждым из параметров. Возможно, что без принятия какого-то нового подхода задача локализации параметров в отдельные интервалы неразрешима.

Проблема остается сложной даже при больших выборках. Можно определить интервалы типа

и подставить (при большой выборке) оценку для в границы Этот прием аналогичен хорошо известной процедуре в теории стандартных ошибок, где мы заменяем параметры, входящие в дисперсии ошибок, их оценками, полученными по выборкам.

20.36 Мы не будем пытаться развить здесь далее теорию совместных доверительных интервалов. Читатель, который интересуется теоретическим аспектом, может посмотреть работы С. Роя и Бозе (1953) и С. Роя (1954). Бартлетт (1953, 1955) рассмотрел обобщение метода из 20.15 на случай двух или более неизвестных параметров. Гальперин и Мантел (1963) и Гальперин (1964) рассмотрели интервалы для нелинейных функций от параметров (в частности, при больших выборках).

Теорема из 20.17, касающаяся кратчайших интервалов, была обобщена Уилксом и Дейли (1939). При большой выборке в довольно общих предположениях наименьшая в среднем область для I параметров дается соотношением

где матрица, обратная к информационной матрице, общий элемент которой имеет вид

таково, что где вероятность вычисляется с помощью -распределения с I степенями свободы. Это, очевидно, имеет отношение к результату из 17.39, дающему минимальные достижимые дисперсии (а после простого обобщения и ковариации) для множества несмещенных оценок нескольких параметрических функций.

В третьем томе в разделе дисперсионного анализа нам встретится задача нахождения доверительных интервалов одновременно для нескольких средних.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление