Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Обобщение на случай нескольких параметров

20.24 Теперь мы перейдем к обобщению предшествующей теории на случай распределения, зависящего от нескольких параметров. В дальнейшем, чтобы упростить изложение, мы будем подробно рассматривать лишь случай одномерной варианты,

хотя теория совершенно общая. Мы начнем с обозначений и с введения геометрической терминологии, которую можно рассматривать как обобщение понятий из рис. 20.1 и 20.2.

Предположим, что у нас есть плотность известного вида, зависящая от I неизвестных параметров Обозначим ее Задача может состоять в оценке либо только либо одновременно нескольких параметров Вначале рассмотрим оценку лишь одного параметра. Для того чтобы определить доверительные границы, требуется найти две функции зависящие от выборочных значений и не зависящие от параметров такие, что

где есть заранее выбранный коэффициент доверия.

С выборкой объема можно связать точку в -мерном евклидовом пространстве, а функция плотности будет определять плотность распределения для каждой такой точки. Величины являясь функциями от иксоз, определены в этом пространстве и для любого заданного коэффициента доверия лежат на двух гиперповерхностях (естественное обобщение понятия доверительных линий из рис. 20.1). Между ними заключена доверительная зона.

В общем случае мы должны рассматривать область априори возможных значений 0. Таким образом, к -мерному пространству присоединяется -мерное пространство значений 0. Общая область изменения имеет теперь размерность Но если мы оцениваем только параметр то совокупное пространство редуцируется к -мерному пространству, остальные параметров отсутствуют.

Будем обозначать через выборочное пространство, а через точку с координатами Будем писать чтобы подчеркнуть, что доверительные функции зависят от Интервал обозначим или Как и выше, означает, что Доверительную зону обозначим А и будем писать или чтобы показать, что выборочная точка лежит в интервале или в области А.

20.25 На рис. 20.7 показаны две оси и третья ось, соответствующая переменной Выборочное пространство таким образом, двумерно. Для любого заданного скажем для пространство есть гиперплоскость (или ее часть), как показано на рисунке.

Возьмем любую заданную пару значений и проведем через эту точку прямую, параллельную оси (как на рисунке) и пересекающую гиперплоскость в точке Соответствующие значения функций будут давать две границы для им отвечают две точки на этой прямой, например и

Рассмотрим теперь прямые когда и изменяются. В некоторых случаях точки находятся по разные стороны от и параметр лежит внутри интервала В других случаях (как, например, для интервала показанного на рисунке) получается обратное. Совокупность точек первой категории определяет область А, заштрихованную на рисунке. Для любой точки из А утверждение о том, что является справедливым; для точек же, лежащих вне А, оно будет ошибочным.

Рис. 20.7. Доверительные интервалы для (см. текст).

20.26 Очевидно, если выборочная точка попадает в область А, то соответствующее значение параметра лежит в доверительном интервале, и наоборот. Из этого следует, что вероятность, с которой любое фиксированное значение будет накрыто доверительным интервалом, равна вероятности того, что точка лежит в т. е.

Отсюда следует, что если доверительные функции определены так, что

то для любого

Это показывает также, что ни при каком область А не может быть пустой, так как вероятность в (20.62) была бы тогда равна нулю.

20.27 Если функции однозначны и определены для всех то любая выборочная точка попадает по крайней мере в одну область Действительно, если на прямой соответствующей данному возьмем точку между то этим мы определим значение например такое, что

Более существенно то, что если выборочная точка попадает в области соответствующие двум значениям параметра скажем то она попадает и в область любое значение между В самом деле, имеем следовательно,

если наибольшее из

Далее, если выборочная точка попадает в каждую из областей отвечающих значениям параметра для которых то она должна также попадать в области

20.28 Условия, указанные в двух предыдущих пунктах, являются необходимыми. Докажем сейчас, что они и достаточны, а именно: пусть для любого значения существует определенная в выборочном пространстве область А такая, что

(1) , каковы бы ни были значения параметров

(2) для любого существует по меньшей мере одно например такое, что

(3) если то для любого лежащего между

(4) если для любого удовлетворяющего условию то

Тогда доверительные границы для параметра определяются как нижняя и верхняя грани значений для которых фиксированная выборочная точка попадает внутрь Они определены и однозначны для всех при любом

Нижняя и верхняя грани существуют вследствие условия (2), и нижняя грань не превосходит верхней. Нам остается только показать, что а для этого, вследствие условия (1), достаточно показать, что

Мы уже знаем, что если то и наш результат будет установлен, если мы докажем обратное утверждение.

Пусть то, что когда неверно. Пусть точка вне для которой Тогда либо либо либо выполнено то и другое, так как в противном случае, поскольку и их — границы тех значений для которых лежит в существовали бы значения

и такие, что и

так что согласно условию (3) а это противоречит предположению.

Итак, либо либо либо выполнены оба равенства. В последнем случае точка должна попасть в область , поскольку нижняя и верхняя границы значений , для которых Наконец, если (аналогично, если то мы видим, что для любого точка должна по условию (3) попасть в и, следовательно, по условию (4) должна попасть в где Таким образом, она попадает в .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление