Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Дискретность

20.22 При обсуждении биномиального распределения в примере 20.2 мы обратили внимание на тот факт, что число успехов (скажем, с) необходимо целое и доля успехов следовательно, дискретна. Полученная там доверительная полоса не была точной и давала доверительные утверждения вида вместо Прибегнув к специальному приему, можно всегда сделать утверждение типа , даже в дискретном случае. Этот метод предложил Стивене (1950).

Действительно, после того, как мы извлекли случайную выборку и получили с успехов, возьмем откуда нибудь случайное число х, имеющее прямоугольное распределение например, выбирая случайным образом четыре цифры из обычных таблиц и принимая их за десятичные знаки. Тогда величина

может принимать любое значение в интервале от до (предполагая, разумеется, что четырех десятичных знаков достаточно для того, чтобы задать значение непрерывной переменной). Если обозначая через со оцениваемую вероятность, имеем

Это определяет непрерывное распределение для у. Оно очевидным образом непрерывно, когда х изменяется от до , так как со тогда постоянно. В точках, где вероятность также стремится к одному и тому же значению как справа, так и слева. Можно теперь использовать это распределение, чтобы получать доверительные границы для со, и доверительные утверждения,

основанные на них, будут точными утверждениями типа

Доверительные интервалы будут иметь вид, показанный на рис. 20.6. Верхняя граница теперь сдвинулась вправо благодаря тому, что разрывы соединились последовательностью дуг. Нижняя граница также содержит последовательность дуг, но она не сдвинулась вправо; поэтому на рисунке показана (пунктиром) только приближенная верхняя граница из рис. 20.2. При нашем масштабе нижняя приближенная граница почти совпала бы с нижней последовательностью дуг. Общий результат состоит в том, что таким приемом доверительный интервал укорочен.

20.23 На первый взгляд удивительно, что интервалы, полученные таким путем, лежат внутри приближенных ступенчатых интервалов из рис. 20.2 и, следовательно, дают не менее точные границы. Ведь беря дополнительную случайную величину х, мы вносили дополнительную неопределенность в ситуацию. Однако небольшое размышление покажет, что то, что мы сделали, не бессмысленно. Мы устранили одну неопределенность, связанную с неравенством , введением другой так, чтобы делать утверждения вида , и потери от второй неопределенности более чем возмещаются устранением первой.

Центральные интервалы для параметра биномиального распределения можно легко получить из соотношения (20.59), но они не будут несмещенными наиболее селективными рандомизованными интервалами. Последние табулированы Влитом и Хатчинсоном (1960) для ; Те же авторы (1961) приводят интервалы с такими же свойствами для параметра пуассоновского распределения при наблюдениях х, не превосходящих 250, и

Рис. 20.6. Рандомизоваиные доверительные интервалы для биномиального параметра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление