Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Несмещенные оценки

17.8 Свойство состоятельности является предельным свойством, т. е. относится к поведению оценки при стремлении объема выборки к бесконечности и не налагает никаких ограничений на поведение оценки при конечных Если существует одна состоятельная оценка то можно построить бесконечно много других. Например, при фиксированных оценка

будет также состоятельной. Мы знаем, что в некоторых случаях состоятельной оценкой генерального среднего является выборочное среднее

Но статистика

тоже будет состоятельной оценкой генерального среднего. Почему же мы одну предпочитаем другой? Интуитивно кажется абсурдным делить сумму количеств на какое-либо число, отличное от Однако мы скоро увидим, что интуиция не очень надежный советчик в этом вопросе. Так, имеются основания для предпочтения статистики

статистике

в качестве оценки генеральной дисперсии, несмотря на то что последняя является выборочной дисперсией.

17.9 Рассмотрим выборочное распределение некоторой оценки Если оценка состоятельна, то центральное значение этого распределения при больших объемах выборки должно быть близко к 0. Можно дополнительно потребовать, чтобы это центральное значение было равно для всех выборок, а не только для больших.

Если требовать, чтобы для всех среднее значение было равно 0, т. е.

то мы определим так называемую несмещенную оценку. Этот термин, подобно многим в статистике, нельзя назвать удачным. Нет никаких оснований, кроме удобства, выделять арифметическое среднее среди других мер расположения как критерий несмещенности. С таким же успехом мы могли бы выбрать для определения несмещенной оценки медиану распределения или его моду. Среднее выбрано, как всегда, из-за его хороших математических свойств. Это вполне разумно, но надо помнить, что этому термину не следует придавать каких-либо оттенков не технического характера.

Пример 17.3

Равенство

показывает, что выборочное среднее является несмещенной оценкой генерального среднего всегда, когда последнее существует. Однако выборочная дисперсия не будет несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно,

имеет среднее значение Несмещенной оценкой будет

поэтому ее обычно предпочитают выборочной дисперсии.

Из сказанного видно, что состоятельная оценка не обязательно является несмещенной. Нам встречалась также несмещенная оценка, которая не была состоятельной (пример 14.5). Таким образом, ни одно из этих свойств не влечет другое. Однако состоятельная оценка, асимптотическое распределение которой имеет конечное среднее, должна быть асимптотически несмещенной.

Иногда несмещенной оценки вообще не существует (см. упражнение 17.12). Если такая оценка и существует, то может случиться, что в отдельных случаях, и даже всегда, она будет давать бессмысленные результаты. Например, при оценивании параметра никакая статистика, распределение которой сосредоточено на интервале не будет несмещенной, так как для ее математическое ожидание (за исключением тривиальных случаев вырождения) превосходит 0. Один важный пример такого рода будет рассмотрен в 27.34: Упраж: нение 17.26 содержит принадлежащий Э. Леману пример несмещенной оценки, которая всегда приводит к бессмысленным результатам.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление