Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Другие методы оценивания

19.22 В предыдущей главе мы видели, что, кроме того факта, что МП-оценки являются функциями от достаточных статистик для оцениваемых параметров, все остальные свойства этих оценок носят асимптотический характер, именно:

(I) состоятельность;

(II) асимптотическая нормальность;

(III) несмещенность.

Очевидно, МП-оценка не может быть единственной оценкой, обладающей этими свойствами. Например, добавление к произвольной константы не изменяет ее свойств первого порядка, если достаточно велико. Поэтому естественно вслед за Нейманом (1949) исследовать класс оценок, обладающих теми же асимптотическими свойствами, что и 0. Дополнительным стимулом к такому исследованию является еще то, что иногда нахождение МП-оценок связано с большими вычислительными трудностями (см. примеры 18.3, 18.9, 18.10).

19.23 Предположим, что имеется выборок с наблюдениями в выборке. Как и в 18.19, упростим задачу, предполагая, что каждое наблюдение в выборке относится к одному из взаимно исключающих классов. Если обозначает вероятность попадания в класс наблюдения из выборки, то

и задача сводится к рассмотрению системы из мультиномиальных распределений. Пусть — число наблюдений из выборки, попавших в класс, и соответствующая относительная частота. Вероятности являются функциями от неизвестных параметров

Функция от случайных величин называется наилучшей асимптотически нормальной оценкой (сокращенно: НАН-оценхой) для одного из неизвестных параметров если (I) состоятельна для

(II) Т асимптотически нормальна при

(III) T эффективна;

(IV) существует и непрерывна по для всех Первые три условия в точности совпадают с теми, которые мы уже доказали для МП-оценок в главе 18. Легко проверить, что в рассматриваемой мультиномиальной ситуации для МП-оценок выполнено также четвертое свойство. Таким образом, класс НАН-оценок содержит МП-оценку как частный случай.

19.24 Нейманом было показано, что следующие три условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы некоторая оценка была НАН

(II) выполнено условие (IV) пункта 19.23;

(III) обращается в минимум по

Условие (I) достаточно для состоятельности, и, вообще говоря, оно является более сильным условием, чем состоятельность. В нашем случае, поскольку статистика есть непрерывная функция от а сходятся по вероятности к сходится по вероятности к т. е. к

Условие (III) есть просто условие эффективности, так как подлежащая минимизации функция является дисперсией к которой применено необходимое условие минимума

В том виде, как они здесь сформулированы, эти три условия не имеют большой ценности. Однако Нейман показал, что можно получить достаточную систему условий, если заменить (III) условием непосредственно на которое мы здесь не приводим. Из этих условий он выводит, что

(а) МП-оценка является НАН-оценкой, что мы уже видели;

(б) оценки, полученные по так называемому методу минимума хи-квадрат, также являются НАН-оценками.

Теперь мы приступаем к изучению этого второго класса оценок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление